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Por el interés del problema geométrico que ha abordado Jimmi Pachon, y le ha conducido a esta ecuación, paso a responder esta pregunta respecto a la resolución algebraica de las ecuaciones de cuarto grado, que descubrió en primer lugar el italiano Ludovico Ferrari, discípulo de Cardano.

Las raíces exactas del polinomio propuesto se hallan resolviendo la ecuación de cuarto grado, también llamada ecuación cuártica.

Muchos textos anglosajones la llaman ecuación bicuadrática, pero en castellano se emplea más a menudo el término "bicuadrática" o "bicuadrada" para la ecuación de cuarto grado incompleta, sin términos de grado impar (x³ y x).

Aquí tenemos:

32x⁴-8x³-7x²-2x+1=0. Comprobamos primero si la ecuación tiene raíces enteras, pues todos sus coeficientes son racionales, incluso enteros, lo que facilita el cálculo de raíces enteras: sabemos que deben ser divisores del último término, luego solo pueden ser ± 1, pero vemos que ni 1 ni -1 son raíces, por sustitución directa.

Comprobamos si la ecuación tiene raíces racionales, es decir, fracciones del tipo a/b, con a,b enteros y b≠0; es un teorema conocido que toda raíz fraccionaria a/b de un polinomio de cualquier grado>0, si es irreducible, debe ser tal que el numerador a divide al término independiente y el denominador b divide al coeficiente principal. De modo que solo pueden ser raíces fraccionarias

± 1/2, ± 1/4, ± 1/16, ± 1/32, pero también vemos por sustitución directa que ninguna es raíz de la ecuación cuártica. Lo cual significa que o bien tiene raíces reales, todas irracionales, o un par, o los dos pares de raíces, son imaginarias conjugadas dos a dos.

De modo que, no pudiendo emplear simplificaciones iniciales, no queda otra alternativa, para hallar las raíces en forma exacta que resolver la ecuación algebraicamente, esto es, por medio de radicales y operaciones racionales sobre los coeficientes, todas ellas en cantidad finita.

Resolución algebraica de la ecuación general de cuarto grado

El método que recomiendo como más simple para encontrar los valores numéricos exactos de las raíces de la ecuación cuártica mediante su resolución algebraica, entre todos los conocidos, que son muchísimos, es el método de Descartes, por su sencillez conceptual y aún dentro de la complicación numérica que conlleva, es el más sencillo de aplicar si solo se tiene a mano una calculadora científica no programable.

Dados los coeficientes complejos p, q, r, s (pueden ser reales uno, varios o todos ellos), supongamos dada la ecuación: x⁴+px³+qx²+rx+s=0 (1)

Descartes empleó su fecundo método de los coeficientes indeterminados, de innumerables aplicaciones prácticas, para resolver algebraicamente la ecuación general de cuarto grado, mediante la factorización de su primer miembro en dos trinomios cuadráticos, lo que reduce la ecuación de cuarto grado a dos de segundo, fácilmente resolubles por la consabida fórmula cuadrática.

Así pues, busquemos los coeficientes m, n, g, h que cumplan la identidad:

(x²+mx+n)(x²+gx+h) ≡ x⁴+px³+qx²+rx+s

x⁴+(m+g)x³+(h+n+mg)x²+(mh+ng)x+hn ≡x⁴+px³+qx²+rx+s

Identificando coeficientes homólogos obtenemos un sistema de ecuaciones que nos dará el valor de los parámetros m, n, g, h en función de p, q, r, s, los coeficientes de la ecuación cuártica, que consideramos conocidos.

m+g=p; h+n+mg=q; mh+ng = r; hn=s (&).

Sin embargo, tanto Descartes como todos los textos que se refieren a este método, empiezan por aplicar previamente una transformación lineal en la ecuación cuártica general con el fin de eliminar su término cúbico, es decir, el segundo término, lo que simplifica la solución puesto que se parte de la hipótesis p=0. La transformación aludida es, en la ecuación general, la sustitución x=y-p/4, que la transforma en la llamada ecuación cuártica reducida, sin segundo término. Esta transformación polinómica, que en general se llama Transformación de Tschirnhauss (o Tschirnhausen), en este sencillo caso es lineal, una simple traslación, que consiste en aumentar todas las raíces de la ecuación en p/4. Una vez calculada y, se obtiene x por medio de x=y-p/4.

No obstante, esta preparación previa no es imprescindible, no sé porqué no reparan tantos textos en que solo se requiere un pequeño artificio para resolver fácil y directamente el sistema (&).

En efecto, si el sistema se intenta resolver "por la fuerza" se vuelve a encontrar finalmente una ecuación cuártica de dificultad equivalente a la original, pero el "ardid" para evitarlo es éste:

m=(m+g)/2 + (m-g)/2; g=(m+g)/2 - (m-g)/2; de modo que llamando:

(m+g)/2 = k; (m-g)/2=l, tendremos:

m=k+l; g=k-l; sustituyendo en el sistema (&):

2k=p; h+n+k²-l²=q; h(k+l)+n(k-l)=r; hn=s.

De aquí sale (saltándose pasos obvios):

k = p/2 (siendo k conocida, se sustituye por su valor);

h+n=q - p²/4 + l²; l(h-n) = r - pq/2 + p³/8-(p/2)l², que nos da h, n en función de l, mediante el sistema lineal:

h+n=q - p²/4 + l²

h-n= [1/(8l)] * [8r-4pq+p³-2p*l²]. Sumando y restando estas dos últimas ecuaciones:

h = (1/2) * [(8r-4pq+p³-2p*l²)/(8l) + (q-p²/4)+l²]

n = (1/2) * [-(8r-4pq+p³-2p*l²)/(8l) + (q-p²/4)+l²].

Tenemos expresadas h, n en función de l, y conocemos también k. Determinando l quedará resuelto el sistema paramétrico.

Pero como la última ecuación del sistema paramétrico es hn=s, sustituyendo y recordando que suma * diferencia = diferencia de cuadrados:

(1/4)* [(q-p²/4)+l²]² - (1/4)* [(8r-4pq+p³-2p*l²)/(8l)]²=s.

Todo es conocido salvo l que hay que calcular:

[(q-p²/4)+l²]² - [(8r-4pq+p³-2p*l²)/(8l)]² =4s.

[(q-p²/4)+l²]² - (8r-4pq+p³-2p*l²)² / (64l²) =4s.

Ahora podemos simplificar la ecuación en l mediante el cambio de variable: l²=z.

[(q-p²/4)+z]² - (8r-4pq+p³-2p*z)² / (64z)=4s. Multiplicando por 64z:

64z*[z+(q-p²/4)]² - (2pz-8r+4pq-p³)² - 256s*z=0. Desarrollando:

64z³+128z²*(q-p²/4) + 64z*(q-p²/4)²-4p²z² -4p(-8r+4pq-p³)*z-(4pq-8r-p³)²-256s*z=0, y agrupando y ordenando:

64z³+z²*(128q-32p²-4p²)+z*(64q²-32p²q+4p⁴+32pr-16p²q+4p⁴-256s) -

-(4pq-8r-p³)² = 0.

Representando, para abreviar, puesto que son conocidos p,q,r,s:

2q-9p²/16=b; p⁴/8 - 3p²q/4 + q² + pr/2 - 4s =c; -(4pq-8r-p³)² = d,

tenemos al fin:

z³+bz²+cz+d=0 → Ecuación cúbica resolvente de la cuártica general (1).

Una vez calculada cualquier solución de la ecuación resolvente por la fórmula de Cardano u otra análoga que resuelva la ecuación cúbica algebraicamente, designémosla z₀. Si lo aplicamos a un caso numérico con coeficientes reales será más cómodo elegir para z alguna solución real, puesto que siempre existen una o tres raíces reales como solución de una ecuación de tercer grado con coeficientes reales.

Pues bien, recordando que era l²=z₀, y nos basta solo una solución del sistema paramétrico -no necesitamos todas para factorizar el primer miembro de la cuártica (1)-, podemos tomar l= √z₀, entendiendo por √z₀, en el campo complejo, el valor de la raíz cuadrada de z₀ con la parte real positiva, y si la parte real de las dos raíces cuadradas de z₀ es cero, entonces convenimos en que √z₀ representa el valor de la raíz cuadrada con parte imaginaria positiva, y si también la parte imaginaria de ambas raíces cuadradas es cero, entonces solo puede ser z₀=0, y como √z₀ elegimos el número cero.

Con estas notaciones, tenemos: l=√z₀, pero como era:

h = (1/2) * [(8r-4pq+p³-2p*l²)/(8l) + (q-p²/4)+l²]

n = (1/2) * [-(8r-4pq+p³-2p*l²)/(8l) + (q-p²/4)+l²],

tendremos, sustituyendo:

h = (1/2) * [(8r-4pq+p³-2p*z₀)/(8√z₀) + (q-p²/4)+z₀]

n = (1/2) * [-(8r-4pq+p³-2p*z₀)/(8√z₀) + (q-p²/4)+z₀],

Como vimos, m=k+l, g= k-l, con k=p/2, luego:

m=p/2 + √z₀

g=p/2 - √z₀, y tenemos que:

(x²+mx+n)(x²+gx+h)≡x⁴+px³+qx²+rx+s, de modo que la ecuación cuártica

x⁴+px³+qx²+rx+s=0 se desdobla en dos cuadráticas:

x²+mx+n=0; x²+gx+h=0, o bien:

x²+(p/2 + √z₀) x+(1/2) * [-(8r-4pq+p³-2p*z₀)/8√z₀ + (q-p²/4)+z₀]=0;

x²+(p/2 - √z₀)x+(1/2) * [(8r-4pq+p³-2p*z₀)/8√z₀ + (q-p²/4)+z₀]=0,

donde z₀ es cualquier raíz de la ecuación cúbica resolvente:

z³+(2q-9p²/16)*z² + (p⁴/8 - 3p²q/4 + q² + pr/2 - 4s)*z-(4pq-8r-p³)²=0

Las dos cuadráticas dan las cuatro raíces de (1) mediante una expresión que contiene raíces cuadradas y cúbicas, y para los efectos prácticos es casi inmanejable, pero teóricamente acredita que es posible despejar la incógnita x en la ecuación general de cuarto grado por medio de una cantidad finita de operaciones racionales y extracción de raíces en cantidad finita operando con sus coeficientes.

Reducción de la ecuación cúbica resolvente z³+bz²+cz+d=0.

Por medio de sencillas operaciones, la primera de las cuales es multiplicar ambos miembros por 27, llegamos a transformar cualquier cúbica, en particular la resolvente de la cuártica, en una ecuación cúbica reducida, sin segundo término:

(3z+b)³+ u* (3z+b) + v=0, donde u=9c-3b²; v= 2b³-9bc+ 27d, de modo que si 3z+b=t, tenemos t³+u*t+v=0, ecuación cúbica reducida, cuyas soluciones podemos obtener por medio de la fórmula de Cardano-Tartaglia:

t= ³√ [ -v/2+√(v²/4+u³/27) ] + ³√ [ -v/2-√(v²/4+u³/27) ], no asociando otros valores de los radicales cúbicos sino aquellos que dan un producto igual a -u/3.

Aplicado a la ecuación resolvente daría, recapitulando:

z₀ = (-b+t₀)/3, con t₀=³√ [ -v/2+√(v²/4+u³/27) ] + ³√ [ -v/2-√(v²/4+u³/27) ] (una cualquiera de las posibilidades de elecciones de los radicales cúbicos siempre que su producto sea -u/3), donde a su vez u=9c-3b²; v= 2b³-9bc+ 27d.

Aquí, b,c,d serían:

b = 2q-9p²/16

c = p⁴/8 - 3p²q/4 + q² + pr/2 - 4s

d = -(4pq-8r-p³)²

Y obtendríamos finalmente las cuatro raíces en x por medio de las dos ecuaciones de segundo grado ya mencionadas:

x²+(p/2 + √z₀) x+(1/2) * [-(8r-4pq+p³-2p*z₀)/8√z₀ + (q-p²/4)+z₀]=0

x²+(p/2 - √z₀)x+(1/2) * [(8r-4pq+p³-2p*z₀)/8√z₀ + (q-p²/4)+z₀]=0.

En el caso correspondiente a la pregunta, pondríamos:

32x⁴-8x³-7x²-2x+1=0→ x⁴-(1/4)x³-(7/32)x²-(1/16)x+(1/32)=0,

luego sustituiríamos:

p=-1/4; q= -7/32; r=-1/16; s= 1/32, y en la fórmula final, que puede verse en Wolfram Alpha, seleccionando "valores exactos", los radicales cúbicos -en forma esencial, es decir, no reducibles a cuadráticos, nos indicarán que ninguno de los valores de esas raíces es constructible con regla y compás, como tampoco es resoluble con regla y compás el interesante problema geométrico que llevó al compañero Jimmi Pachon a plantear esta ecuación.