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omo expliqué en , ando en una cruzada por eliminar algunas de las traducciones y respuestas repetitivas en Quora, como por ejemplo:

“Si 2^x+1=4, ¿qué es x?”

Por otras mas generales como esta. Así que espero Quora no me separe las preguntas de nuevo como me hizo ayer.

Bueno, ahora sí la respuesta.

Primeramente, definimos una ecuación de este tipo de ecuación

ax+b=cax+b=c

como una ecuación exponencial, y se llama así porque si gráficas la función para casos particulares de a,ba,b y ccobtienes una función exponencial. Lo otro a entender es que aa, bb y cc son parámetros, coeficientes, o variables ( en este contexto son sinónimos), los cuales se entienden como una forma de representar genéricamente un valor arbitrario.

Así pues si a=2a=2, b=1b=1 y c=4c=4 la expresión toma la forma del ejemplo particular que cité en la parte superior. En este sentido es deseable obtener una formula para el valor final de xx, y de esta forma, el único trabajo que tendremos para resolver este tipo de problemas es identificar los coeficientes aa,bby cc.

Muy bien, ahora definamos una series de reglas que finalmente nos permitirán resolver la ecuación:

1. Sabemos que si tenemos un número aa y le restamos −a−a obtenemos cero: a−a=0a−a=0 .
2. Sabemos que si tenemos un número aa y le sumamos 00, obtendremos aa: a+0=aa+0=a .
3. Sabemos que si tenemos un número aa diferente de cero, y lo dividimos por si mismo obtendremos 1: 1aa=11aa=1, o aa=1aa=1 , o a/a=1a/a=1 , o también a÷a=1a÷a=1 (Todos las formas son equivalentes entre sí).
4. Sabemos que si multiplicamos cualquier número por 1, obtenemos el mismo número: 1∗a=a1∗a=a .
5. Tenemos la propiedad conmutativa, del productor y suma, donde dado dos número aa y bb se cumple que a∗b=b∗aa∗b=b∗a y a+b=b+ca+b=b+c.
6. Tenemos la propiedad asociativa, del productor y suma, donde dado tres números número aa y bb y cc se cumple que a∗b∗c=(a∗b)∗a=a∗(b∗a)a∗b∗c=(a∗b)∗a=a∗(b∗a) y a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+ca+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c. Donde el paréntesis significa que debemos primero realizar la operación que se encuentra dentro del mismo, y este resultado luego se usa para calcular el valor final. Es decir, solo hace falta ir par por par.
7. Tenemos ademas la propiedad que nos dice que el logaritmo de una potencia, es por definición el productor de la potencia por el logaritmo de la base, o en forma de ecuación: logn(ab)=blogn(a)logn⁡(ab)=blogn⁡(a). (Si quieres saber mas sobre como entender lo que es un logaritmo y sus propiedades puedes ver ( )

Con estas propiedades podemos encontrar la formula general para la solución de xx. Pero para esto hace falta simplemente una última cosa, entender que la igualdad en la ecuación nos dice que todo lo que está en la derecha tiene que ser idéntico a lo de la izquierda, por lo que si modificamos algo en la derecho debemos hacerlo igualmente en la izquierda para no perder la igual. Así pues podemos en primer lugar sumar substraer a ambos lados el término b,b, luego aplicar el logaritmo en ambos lados, y finalmente dividir el algoritmo para encontrar la solución. Esto en forma matemática significa:

ax+b=cax+b=c

ax+b−b=c−bax+b−b=c−b

ax+b−b=c−bax+b−b=c−b

(Usamos propiedad 6 )

ax+(b−b)=c−bax+(b−b)=c−b

(Usamos propiedad 1 )

ax+0=c−bax+0=c−b

(Usamos propiedad 2 )

ax=c−bax=c−b

Aplicamos el logaritmo

logn(ax)=logn(c−b)logn⁡(ax)=logn(c−b)

(Usamos propiedad 7 )

xlogn(a)=logn(c−b)xlogn⁡(a)=logn(c−b)

(Usamos propiedad 5 )

logn(a)x=logn(c−b)logn⁡(a)x=logn(c−b)

(Usamos propiedad 3 )

1logn(a)logn(a)x=1logn(a)logn(c−b)1logn⁡(a)logn⁡(a)x=1logn⁡(a)logn(c−b)

(Usamos propiedad 6 )

(1logn(a)logn(a))x=logn(c−b)logn(a)(1logn⁡(a)logn⁡(a))x=logn(c−b)logn⁡(a)

(Usamos propiedad 4 )

x=logn(c−b)logn(a)x=logn(c−b)logn⁡(a)

y hemos encontrado la solución para xx forma genérica. Para el caso particular a=2a=2, b=1b=1 y c=4c=4 la ecuación encima se reduce a:

x=logn(4−1)logn(2)x=logn(4−1)logn⁡(2)

x=logn(3)logn(2)x=logn(3)logn⁡(2)

Que puedes demostrar que es completamente independiente de la base nn. Pero por elegancia, podemos utilizar la base n=2n=2, ya que en esta base log2(2)=1log2⁡(2)=1y por lo tanto la solución es simplemente

x=logn(3)x=logn(3)

Lo que también te dice que si aa es un entero, entonces lo ideal es escoger un logaritmo de base aa donde la solución general es

x=loga(c−b)x=loga(c−b)