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Primera impresión: Anda pal carajo

Sea II la expresión cuyo límite se busca. Entonces

lnI=1sinxln(1+tanx1+sinx)ln⁡I=1sin⁡xln⁡(1+tan⁡x1+sin⁡x)

y pues

limx→0lnI=limx→01sinxln(1+tanx1+sinx).limx→0ln⁡I=limx→01sin⁡xln⁡(1+tan⁡x1+sin⁡x).

Puedes verificar que

limx→0ln(1+tanx1+sinx)=0,limx→0sinx=0limx→0ln⁡(1+tan⁡x1+sin⁡x)=0,limx→0sin⁡x=0

por lo que podemos utilizar la regla de L’Hopital. La derivada de sinxsin⁡x es cosxcos⁡x, fácil. La otra… no tan fácil.

ddxln(1+tanx1+sinx)=1+sinx1+tanx(1+sinx)(sec2x)−(cosx)(1+tanx)(1+sinx)2.ddxln⁡(1+tan⁡x1+sin⁡x)=1+sin⁡x1+tan⁡x(1+sin⁡x)(sec2⁡x)−(cos⁡x)(1+tan⁡x)(1+sin⁡x)2.

Entonces

limx→0lnI=limx→01cosx⋅1+sinx1+tanx⋅(1+sinx)(sec2x)−(cosx)(1+tanx)(1+sinx)2limx→0ln⁡I=limx→01cos⁡x⋅1+sin⁡x1+tan⁡x⋅(1+sin⁡x)(sec2⁡x)−(cos⁡x)(1+tan⁡x)(1+sin⁡x)2

y puedes verificar que no hay ningún problema con evaluar este límite directamente para obtener

limx→0lnI=0.limx→0ln⁡I=0.

Ahora, el logaritmo es función continua, por lo que limx→0lnI=ln(limx→0I)=0⇒limx→0I=e0limx→0ln⁡I=ln⁡(limx→0I)=0⇒limx→0I=e0 y ahí está:

limx→0(1+tanx1+sinx)1sinx=1.limx→0(1+tan⁡x1+sin⁡x)1sin⁡x=1.