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Como integral indefinida no tiene mucha gracia, pero con un poco de trabajo y variable compleja y el teorema del residuo puedes demostrar que si n>2n>2 es entero:

In=∫∞0dx1+xn=π/nsin(π/n)In=∫0∞dx1+xn=π/nsin⁡(π/n)

Que es una fórmula cerrada bastante sencilla que permite calcular los siguientes valores particulares:

I2=π2I2=π2
I3=23–√π9I3=23π9
I4=2–√π4I4=2π4
I5=2–√5–√5+5–√−−−−−−√π25I5=255+5π25
I6=π3I6=π3

Por completitud voy a dar el ejemplo completo calculado mediante el teorema del residuo. Una pequeña transformación previa, para que todo sea más fácil: vamos a hacer el cambio de variable x=y1/nx=y1/n con lo cual la integral tendrá un polinimio de grado 1 en el denominador:

In=∫∞0dx1+xn=1n∫∞0y1n−11+ydy,(∗)In=∫0∞dx1+xn=1n∫0∞y1n−11+ydy,(∗)

Para ello consideremos el dominio gris en forma de anillo partido o herradura de la siguiente figura:

Ahora calcularemos la integral sobre el contorno ABGEFGHJA (en el orden dado pro las flechas del perímetro de la herradura), es decir, nos proponemos calcular la integral de variable compleja:

∮zα1+zdz∮zα1+zdz

Donde α=(1/n)−1α=(1/n)−1. Por el teorema del residuo esta integral necesariamente será igual al residuo en el único polo simple de la función que estamos integrando contenida dentro de la herradura que obviamente es cuando el denominador se anula z=−1z=−1. En ese punto el residuo de la función es Res(f,−1)=limz→−1(z−(−1))f(z)=eiαπRes(f,−1)=limz→−1(z−(−1))f(z)=eiαπ, ahora tenemos que la integral anterior se puede descomponer en la integral sobre dos tramos rectos y dos arcos de circunferencia (los que definen el perímetro de la herradura):

∮=∫AB+∫BDEFG+∫GH+∫HJA=2πi Res(f,−1)=2π ieiαπ∮=∫AB+∫BDEFG+∫GH+∫HJA=2πi Res(f,−1)=2π ieiαπ

Escribiendeo explícitamente las cuatro integrales tenemos:

∫AB=∫R0xα1+xdx∫AB=∫0Rxα1+xdx

∫BDEFG=∫2π0ReiθαiReiθ1+Reiθdθ∫BDEFG=∫02πReiθαiReiθ1+Reiθdθ

∫GH=∫ϵR(xe2πi)α1+xe2πidx∫GH=∫Rϵ(xe2πi)α1+xe2πidx

∫HJA=∫02πϵeiθαiϵeiθ1+ϵeiθdθ∫HJA=∫2π0ϵeiθαiϵeiθ1+ϵeiθdθ

Haciendo los límites ϵ→0ϵ→0 y R→∞R→∞ vemos que la segunda y la cuarta integral tienden a cero, por lo que nos encontramos que:

∫∞0xα1+xdx+∫0∞(xe2πi)α1+xe2πidx=2π ieiαπ∫0∞xα1+xdx+∫∞0(xe2πi)α1+xe2πidx=2π ieiαπ

Esto se puede reescribir como que:

(1−e2παi)∫∞0yα1+ydy=2πeπαi(1−e2παi)∫0∞yα1+ydy=2πeπαi

Y finalmente haciendo un poco de álgebra elemental de números complejos:

∫∞0yα1+ydy=2πeπαi1−e2παi=2πie(α+1)πi−e−(α+1)πi=πsin(α+1)π∫0∞yα1+ydy=2πeπαi1−e2παi=2πie(α+1)πi−e−(α+1)πi=πsin⁡(α+1)π

Uniendo esto con el resultado (∗)(∗)

In=πn1sin(π/n)In=πn1sin⁡(π/n)

Añadido posterior: Acabo de descubrir que dio una respuesta a otra pregunta que incluye esta integral como caso particular, así que recomeindo ver su respuesta que es más general aún