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No tienes una fórmula mecánica para calcular ese tipo de cosas, si en lugar de la fórmula que tu usas cambiaras los coeficientes sería muy difícil encontrar una fórmula cerrada. En el caso que tu propones, casi cualquiera con cierta experiencia en demostraciones, ve que el límite es exex. Sí puedo enseñarte como demostrar eso fácilmente, pero la demostración que muestro sólo funciona porque sé de antemano cual es ese límite (si no lo supiera, el problema sería sumamente difícil).

Vamos allá definamos:

fn(x)=1+x+x22!+⋯+xnn!fn(x)=1+x+x22!+⋯+xnn!

Vamos a calcular ahora el cociente f′n(x)/fn(x)f′n(x)/fn(x) (esto lo hago porque sabiendo que la solución es exex el cociente que me dispongo a calcular debería tender a 1). Calculando explícitamente:

limnf′n(x)fn(x)=limn0+1+x1!+⋯+xn−1(n−1)!1+x+x22!+⋯+xnn!=limn[1+xnn!fn−1(x)]−1=1limnf′n(x)fn(x)=limn0+1+x1!+⋯+xn−1(n−1)!1+x+x22!+⋯+xnn!=limn[1+xnn!fn−1(x)]−1=1

Fijado un x≤x0x≤x0 el límite anterior converge uniformemente a 1. Esto implica que:

1=limnddxlnfn(x)=ddxln(limnfn(x))⇒x=ln(limnfn(x))1=limnddxln⁡fn(x)=ddxln⁡(limnfn(x))⇒x=ln⁡(limnfn(x))

Es decir fn→exfn→ex

Esta claro que si yo no hubiera conocido de antemano, nohabría tenido ni idea de como proceder y seguramente no habría podido demostrar que ese es el límite.