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He aquí un caso notable: es muy frecuente que un integrando "sencillo" conduzca a una integral extraordinariamente complicada, pero es muchísimo menos frecuente que un integrando con apariencia aterradora conduzca a una integral sencilla, y éste es precisamente el caso que nos ocupa.

El valor de la integral es:

I = (1/4) [ x+ √(x²-1) ]² - (1/2) log [ x+ √(x²-1) ] + C, donde C es la constante de integración.

¿Cómo se puede demostrar?

Respuesta perversa : derivando esta función y viendo que el resultado es idéntico al integrando. (Todo el mundo se queda sin saber cómo se nos ha ocurrido esto…).

Respuesta más satisfactoria:

El olfato es una de las mejores cualidades matemáticas, y aquí el radical

√ (x²-1) debiera sugerirnos que andan por medio las funciones hiperbólicas.

Por refrescar ideas a lectores menos familiarizados con el planeta hiperbólico, se definen el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico de un número real por medio de:

Ch x = (eˣ+e⁻ˣ)/2

Sh x = (eˣ-e⁻ˣ)/2,

aunque también se emplea a veces la notación más larga Cosh x, Senh x;

yo llamo a esas dos funciones el "cocheno" y el "cheno", pero nadie más sigue mi terminología tan abreviada y graciosa, así que la reservo para mí solo, mientras pienso durante la realización de los cálculos, y así evito repetirme tanto a mí mismo el adjetivo hiperbólico.

En la trigonometría hiperbólica se definen la tangente hiperbólica (la "changente"…en mi idioma particular), cotangente hiperbólica, secante hiperbólica y cosecante hiperbólica por medio de las relaciones homólogas a las de la trigonometría circular, es decir:

Tanh x = Sh x/Ch x, Coth x = Ch x / Sh x, Sech x = 1/Ch x, Csch x = 1/Sh x.

Pues bien, algunas de las identidades fundamentales son:

Para todo x ∈ R, Ch² x - Sh² x=1 (ecuación fundamental de la trigonometría hiperbólica).

Ch(x+y) = Ch x Ch y + Sh x Sh y

Sh (x+y) = Sh x Chy + Ch x Sh y

Ch (-x) = Ch x (es función par).

Sh (-x) = - Sh x (es función impar).

Ch x+Sh x = eˣ; Ch x y Sh x son funciones continuas y derivables en todo R.

Derivadas: (Ch x)' = Sh x ; (Sh x)' = Ch x .

Si Ch y = x, llamamos al valor positivo de y, si existe, el Argumento coseno hiperbólico de x, y se verifica:

y = Arg Ch x = log [x+√ (x²-1)] .

Arg Ch x existe en R siempre que x≥1; hay otro valor negativo de y, que cumple

Ch y = x ; ese valor es log [x-√ (x²-1)], que es opuesto al anterior, porque

[x+√ (x²-1)] [x-√ (x²-1)] = 1 → log [x+√ (x²-1)]+log [x-√ (x²-1)]=0.

Si es x < 1, no está definido Arg Ch x.

Análogamente, Arg Sh x = log [x+√ (x²+1)], está definido en todo R y tiene un solo valor real para cada x real.

CÁlCULO DE LA INTEGRAL PROPUESTA:

Pues bien, si en la integral pedida efectuamos el cambio de variable x = Ch y, el radical

√ (x²-1) = Sh y, puesto que, por la ecuación fundamental de la trigonometría hiperbólica, es Ch² y - Sh² y = 1 → Sh y = √ (Ch²y-1) = √ (x²-1).

En general, en el cálculo de integrales irracionales es útil, frecuentemente, racionalizar el radical √ (x²-1) mediante el cambio de variable x = Ch y;

y si se trata del radical √ (x²+1) el cambio que lo racionaliza es x = Sh y.

[Aunque en este último caso también sirve el cambio a "circulares", x = tan y].

Ahora bien, siguiendo con la integral de la pregunta, si x = Chy → dx = Sh y dy.

De este modo, mediante el cambio hiperbólico, la integral dada se "reduce" (se reduce poco, más bien…pero algo es algo) a ésta otra:

I = ∫ (Sh y) * ⁴√ [1–8Ch² y + 8Ch⁴ y - 4 Ch y Sh y + 8Ch³ y Shy ] dy.

Hay que reconocer que sigue siendo bastante desagradable el integrando y esa raíz cuarta…pero al menos ya no hay raíces cuadradas dentro del radical cuártico…

Sin embargo, ahora la clave es linealizar, es decir, ver cuánto valen

Ch 2y, Ch 3y, Ch 4y, así como Sh 2y, Sh 3y, Sh 4y…y si esto se ha hecho alguna vez antes con sus funciones análogas, las funciones circulares o trigonométricas de toda la vida, se sabe que en cos 4x, por ejemplo aparece cos⁴ x, en cos 7x aparece cos⁷ x, etc. y es de esperar, aunque no lo recordemos bien, que también se cumpla con las funciones hiperbólicas, que son primas hermanas de las funciones trigonométricas, parientes con una relación misteriosa que se comprende entrando en el campo complejo.

De hecho, cos x = [exp(xi)+exp (-xi) ] /2 = Ch (xi)…

así como se verifica también la relación dual Ch x = cos (xi)

¡El coseno hiperbólico es realmente un coseno (circular)!

Y hay otras relaciones de ese estilo para las demás funciones hiperbólicas, que se relacionan con las trigonométricas circulares a través de la función exponencial compleja.

Toda esta digresión viene a cuento de que esperamos que quien planteó la pregunta la haya "preparado" suficientemente en la cocina, porque, si no, la integral, muy probablemente, no sería expresable por medio de funciones elementales. Así que intentamos reducir la integral a otra donde no haya raíces cuartas ni de ningún otro índice, y mediante la cual finalmente podamos calcular la integral pedida.

Pero de

Ch (a+b) = Ch a Ch b+ Sh a Sh b,

Sh (a+b) = Sh a Ch b + Ch a Sh b,

deducimos haciendo a = b = y,

Ch 2y=Ch² y + Sh² y ; Sh 2y = Sh (y+y)= 2 Sh y Ch y ;

Ch 3y = Ch (2y+y)= Ch 2y Ch y + Sh 2y Sh y, y sustituyendo el valor anterior de Ch 2y , y el de Sh 2y , y simplificando:

Ch 3y= 4 Ch³ y - 3 Ch y, análogamente, deducimos

Sh 3y=3 Sh y + 4 Sh³y ; del mismo modo sale:

Sh 4y= Sh (2y+2y)= 2 Sh 2y Ch 2y = 2 *2 Sh y Ch y Ch 2y =

= 4 Sh y Ch y (Ch² y + Sh² y) = 4 Sh y Ch y (Ch² y + Ch² y - 1) =

= 4 Sh y Ch y (2Ch² y - 1) = 8 Sh y Ch³ y - 4 Sh y Ch y

¡¡EUREKA!! Si recordamos la integral "reducida" que debíamos calcular:

I = ∫ (Sh y) * ⁴√[1–8Ch² y + 8Ch⁴ y - 4 Ch y Sh y + 8Ch³ y Shy] dy,

vemos que los dos últimos términos - 4 Ch y Sh y + 8Ch³ y Shy

representan el valor de Sh 4y.

Veamos ahora:

Ch 4y = Ch (2y+2y)=Ch² 2y + Sh² 2y = (Ch² y + Sh² y)² + Ch² 2y - 1=

= Ch⁴ y + Sh⁴ y + 2 Ch² y Sh² y + (Ch²y + Sh² y)² - 1 =

= Ch⁴ y + (Ch² y - 1)² + 2 Ch² y (Ch² y - 1) + Ch⁴ y + (Ch² y - 1)²+2 Ch² y (Ch² y- 1) - 1 =

= Ch⁴ y + Ch⁴ y-2 Ch² y + 1 + 2 Ch⁴ y - 2 Ch² y + Ch⁴ y + Ch⁴ y - 2 Ch² y + 1

+2 Ch⁴ y - 2 Ch² y - 1 =

= 8 Ch⁴ y - 8 Ch² y + 1 = 1 – 8 Ch² y + 8 Ch⁴ y, que son los dos primeros términos bajo el radical.

Así pues la integral ha sido reducida a:

I = ∫ [ (Sh y) * ⁴√(Ch 4y + Sh 4y) ] dy.

Pero sabemos que para cualquier z ∈ R, es Ch z + Sh z = exp(z) = e ᶻ.

Así que I = ∫ [ (Sh y) * ⁴√exp(4y) ] dy.

Pero ya es sencillo ver que ⁴√exp(4y) = exp (4y/4) = exp (y) = e ʸ.

Así que, finalmente, hemos racionalizado la integral, y resulta:

I = ∫ e ʸ Sh y dy = (1/2) ∫ e ʸ ( e ʸ - e ⁻ʸ) dy =

= (1/2) ∫ ( e ² ʸ - 1) dy = (1/4) e ² ʸ - (1/2) y + C.

Deshaciendo ahora el cambio de variable, y calculando directamente (sin necesidad de "recordar" la fórmula para Arg Ch x) como era x = Ch y →

( e ʸ + e ⁻ʸ)/2 = x → e ʸ + e ⁻ʸ - 2x = 0 → multiplicando por e ʸ:

e ² ʸ - 2x e ʸ + 1 = 0; sea e ʸ = z → z²-2x+1=0 → z = x ± √(x²-1); elegimos el valor positivo del radical,

e ʸ = x+ √(x²-1) → y = log [ x+ √(x²-1) ]

(Si tomáramos el radical negativo el logaritmo tendría el mismo valor absoluto y signo opuesto; pero Sh y era positivo, pues desde el principio hemos tomado Sh y = √(x²-1) . Así que debemos tomar el valor positivo de y por ser Sh y función impar).

Luego la integral pedida, expresada en función de x será:

I = (1/4) exp ( 2 log [ x+ √(x²-1) ]) - (1/2) log [ x+ √(x²-1) ] +C →

I = (1/4) [ x+ √(x²-1) ]² - (1/2) log [ x+ √(x²-1) ] + C.

Que es la solución que anunciamos al principio, C.Q.D.

EPíLOGO:

Ahora sería muy fácil ver que el integrando es ⁴√ [exp (y) ]⁴, es decir,

⁴√ [ x+ √(x²-1) ]⁴ = ⁴√ [2x²-1+2x √(x²-1) ]² = ⁴√ [ 8x⁴-8x²+1+(8x³-4x)√(x²-1) ].

De modo que la integral puede simplificarse desde el primer momento así:

∫ ⁴√ [ 8x⁴-8x²+1+(8x³-4x)√(x²-1) ] dx = ∫ ⁴√ [ x+ √(x²-1) ]⁴ dx =

= ∫[ x+ √(x²-1) ] dx = (1/4) [ x+ √(x²-1) ]² - (1/2) log [ x+ √(x²-1) ] + C.

Solo que no sería muy "honrado" esconder el verdadero método por el que nos hemos dado cuenta de esto, y fingir de ese modo que hemos notado a simple vista que el radicando era una cuarta potencia perfecta de la expresión irracional x+ √(x²-1) ; una actitud que a veces toman algunos autores presuntuosos, borrando las huellas que les han conducido al resultado, lo que puede hacer creer al lector que tienen "poderes especiales de cálculo" para visualizar cosas que no han visto los seres vulgares.

Ahora podríamos incluso transformar el resultado final, desdoblando el radical doble en dos simples: √ [x+ √(x²-1) ] ≡ √ [(x+1)/2 ] + √ [(x-1)/2 ], puesto que sabemos que, en general,

√(A+ √B) = √ { [A+ √(A²-B) ] / 2 } + √ { [A- √(A²-B) ] /2 }, fórmula de desdoble que solo es útil cuando A²-B es un cuadrado perfecto, como en este caso.

Así que (1/2) log [ x+ √(x²-1) ] = log {√ {x+ √(x²-1) } = log { √ [(x+1)/2 ] + √ [(x-1)/2 ] }.

Por otra parte, (1/4) [x+ √(x²-1) ]² = [2x²+2x√(x²-1) ]/4 -1/4 ; podemos olvidar la constante -1/4 que se engloba en C, la constante genérica de integración. Luego el primer término de la integral podemos sustituirlo por:

(x/2) [x+√(x²-1) ], y el valor de la integral de la pregunta nos queda particularmente simple:

I = ∫ ⁴√ [ 8x⁴-8x²+1+(8x³-4x)√(x²-1) ] dx =

= (x/2) [x+√(x²-1) ] + log { √ [(x+1)/2 ] + √ [(x-1)/2 ] } + C.

Pero si no mencionáramos las funciones hiperbólicas que nos han conducido a este resultado tan simple, seríamos desagradecidos con ellas; por tanto, el camino más largo no es el más corto, pero sí el más sincero…