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A2A (David Sánchez). Usaré dos formas más fáciles de hacer este problema por medio de las fórmulas de reflexión y aprovechando que se trata de una integral definida. Para el primer método se propone la siguiente sustitución:

ydy=1u=(−1u2)duy=1udy=(−1u2)du

Además, el límite inferior tiende a ∞∞ y el superior a 00. Sustituyendo esto en la integral resulta en

I=∫0∞1(1+1u2)(1+1uα)⋅(−duu2)I=∫∞01(1+1u2)(1+1uα)⋅(−duu2)

De aquí con unos pequeños ajustes algebraicos se llega a

I=∫∞0uα(1+u2)(1+uα)duI=∫0∞uα(1+u2)(1+uα)du

Puesto que se trata de una integral definida, da igual si la variable de integración es yy o uu, por lo que ambas integrales son equivalentes. Al sumar ambas integrales, se obtendrá

2I=∫∞01(1+y2)(1+yα)dy+∫∞0yα(1+y2)(1+yα)dy=∫∞011+y2dy=π22I=∫0∞1(1+y2)(1+yα)dy+∫0∞yα(1+y2)(1+yα)dy=∫0∞11+y2dy=π2

Por lo tanto

∫∞01(1+y2)(1+yα)dy=π4∫0∞1(1+y2)(1+yα)dy=π4

La segunda forma de resolver este problema es utilizando la siguiente sustitución

ydy=tan(θ)=sec2(θ)dθy=tan⁡(θ)dy=sec2⁡(θ)dθ

Los límites serán desde 00 hasta π/2π/2. Sustituyendo esto en la integral se obtiene

I=∫π/201[1+tan2(θ)][1+tanα(θ)]⋅sec2(θ)dθ=∫π/2011+tanα(θ)dθI=∫0π/21[1+tan2⁡(θ)][1+tanα⁡(θ)]⋅sec2⁡(θ)dθ=∫0π/211+tanα⁡(θ)dθ

Ahora, teniendo en cuenta las fórmulas de reflexión para una función trigonométrica, si se refleja en π/4π/4 se obtiene un ángulo de reflexión θ′=π/2−θθ′=π/2−θ, por ende

I=∫π2011+tanα(π2−θ)dθI=∫0π211+tanα⁡(π2−θ)dθ

Se reconoce que tan(π2−θ)=cot(θ)tan⁡(π2−θ)=cot⁡(θ)

I=∫π2011+cotα(θ)=∫π20tanα1+tanα(θ)I=∫0π211+cotα⁡(θ)=∫0π2tanα1+tanα⁡(θ)

Ahora se suman ambas integrales (puesto que por las fórmulas de reflexión, sus valores son equivalentes, y cabe mencionar que esto no implica que las funciones son iguales porque no lo son).

2I=∫π2011+tanα(θ)dθ+∫π20tanα(θ)1+tanα(θ)dθ=∫π20(1)dθ=π22I=∫0π211+tanα⁡(θ)dθ+∫0π2tanα⁡(θ)1+tanα⁡(θ)dθ=∫0π2(1)dθ=π2

Despejando se llega entonces a que

∫∞01(1+y2)(1+yα)dy=∫π2011+tanα(θ)dθ=π4∫0∞1(1+y2)(1+yα)dy=∫0π211+tanα⁡(θ)dθ=π4

Como dato curioso, si se grafica f(x)=11+tanα(x)f(x)=11+tanα⁡(x), mientras más grande sea αα, más fácilmente se observa que al integrar lo que se está haciendo es determinar el área de un cuadrado de base π/4π/4 y altura 11.