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Supongamos x€ R, x>0. Llamemos y=√ (x*√ (x*√ (x*…))), suponiendo que existe el límite de ese algoritmo infinito, es decir, el límite de la sucesión:

a(0)=√ x, a(n+1) = √ [x * a(n)], donde x es real, positivo y fijo. Tomando límites en ambos miembros:

→ y= √ (x*y) → y²=x*y. O bien y=0, o si no, dividiendo por y:

y=x. De lo que deducimos que la ecuación inicial, que se reduciría a y=x implicaría x=3.

Ahora solo falta demostrar que la sucesión de radicales anidados

{a(n)} (n€N), efectivamente, es convergente.

a(0)=√ x=x^(1/2) // a(1) = [x* x^(1/2) ]^(1/2)= [x^(1+1/2)]^(1/2) = x^(1/2 + 1/4)

a(2)= [x * x^(1/2 + 1/4) ]^(1/2) = x^(1+1/2 + 1/4)^(1/2) = x^(1/2 + 1/4 + 1/8), y se ve que, en general, será a(n) = x^(1/2+ 1/4+1/8+…+1/2^(n+1). Esto es cierto para a(0), a(1), a(2).

Supongamos que esa ley de formación para a(n) sea cierta hasta a(k), y probemos que se verifica también para a(k+1) (Hipótesis de inducción).

Si a(k) = x^[1/2+ 1/4+1/8+…+1/2^(k+1)], entonces, por la definición recursiva para los términos de la sucesión, será:

a(k+1) = {x* x^[1/2+ 1/4+1/8+…+1/2^(k+1)]} ^ (1/2) =

x^[1+ 1/2+ 1/4+1/8+…+1/2^(k+1)]} ^ (1/2) = x^[1/2+ 1/4+1/8+…+1/2^(k+2)], y se cumple la misma ley de formación para a(k+1), lo que demuestra (por inducción) que la ley es cierta para a(n), donde n es cualquier número natural.

Luego: a(n) = x^[1/2+ 1/4+1/8+…+1/2^(k+1)] = xʳₙ, siendo rₙ=1/2+ 1/4+1/8+…+1/2^(n+1) = 1–1/2^(n+1). Evidentemente, por ser rₙ la suma de los n+1 primeros términos (consecutivos) de una progresión geométrica decreciente, con razón 1/2 (<1) es convergente, y lo es hacia 1, pues Lím 1/2^(n+1) =0 cuando n →∞.

Pero la función f(z)= x^z, z€R es la función exponencial de base x (fija), luego es continua. Por ello, si existe Lím ᵖₙ = l cuando n →∞, entonces también existe

Lím xᵖₙ = x^l cuando n →∞. En este caso, existe Lím xʳₙ = x¹= x, es decir,

existe Lím a(n) = x cuando n →∞.

Toda esta demostración es necesaria para aceptar los "puntos suspensivos" entre los radicales anidados, que no significan otra cosa que el paso al límite, para lo cual hemos debido probar que ese límite existe, y no se trata de una mera acumulación de signos tipográficos sin sentido matemático.

De modo que el radical anidado hasta el infinito es igual a x, lo que transforma nuestra ecuación en una de la clase más sencilla del mundo, aquélla que es su propia solución: x=3, cuya solución es, evidentemente, única y es precisamente x=3, puesto que 3 es el único valor que puesto en lugar de x es realmente igual a 3.

También se puede volver al primer argumento empleado al principio, que era correcto, pero incompleto, solo que ya se hace válido con la información suplementaria y fundamental de que la sucesión de radicales anidados converge.

Así, en efecto, como el límite de a(n) es x, en particular no es cero, luego no puede ser y=0 (véase el primer párrafo de esta respuesta) y necesariamente debe ser y=3, que implica x=3, solución real única para la ecuación propuesta, como queríamos demostrar.