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Una desigualdad absolutamente fundamental y enormemente fecunda para demostrar otras desigualdades es la que afirma que:

la media geométrica de varios números positivos es menor o igual que la media aritmética, y la desigualdad es estricta si no todos son iguales, mientras que se da la igualdad de ambas medias cuando y solo cuando son todos iguales, en este último caso las dos medias coinciden en el valor común de todos los números positivos considerados.

Recordamos que, si n €N, n>1, la media geométrica de x₁, x₂, …xₙ, que designaremos por G(x₁, x₂, …xₙ), se define como la raíz n-ésima de su producto, de modo que:

G(x₁, x₂, …xₙ) = ⁿ√(x₁ x₂ …xₙ).

Si n €N, n>1, la media aritmética A(x₁, x₂, …xₙ) se define como la suma de esos mismos números dividida por n, es decir,

A(x₁, x₂, …xₙ) = (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n.

El teorema mencionado establece que si n €N, n>1:

G(x₁, x₂, …xₙ) ≤ A(x₁, x₂, …xₙ), y que si no es x₁ = x₂ = … = xₙ, entonces la desigualdad es estricta, esto es, G(x₁, x₂, …xₙ) < A(x₁, x₂, …xₙ).

Hay muchas demostraciones de este teorema; en el clásico texto sobre desigualdades,

Inequalities, de Beckenbach y Bellman (Springer, Nueva York 1961), pueden verse nada menos que doce demostraciones diferentes de este principio fundamental en la teoría de las desigualdades, que constituye un campo especializado.

Una de las más claras y transparentes es la demostración por inducción que ofrece Korovkin en su elemental y encantador texto Desigualdades (Lecciones populares de matemáticas, editorial MIR). Korovkin empieza probando sencillamente, por inducción, un lema: que si n €N, n>1, siendo x₁, x₂, …xₙ son números reales positivos, no todos iguales, y x₁ x₂ …xₙ =1, entonces x₁ + x₂ + … + xₙ > n. A partir de aquí, se deduce fácilmente el teorema:

Representando la media geométrica como G, y la aritmética como A, será

G = ⁿ√(x₁ x₂ …xₙ) → x₁ x₂ …xₙ = Gⁿ → (x₁/G) (x₂/G) … (xₙ/G) =1, luego la suma será mayor o igual que n (solo igual si x₁ = x₂ = … = xₙ), y así: (x₁/G) + (x₂/G) + … + (xₙ/G) ≥ n →

x₁ + x₂ + … + xₙ ≥ nG → G ≤ (x₁ + x₂ + … + xₙ)/n → G ≤ A, como queríamos demostrar, y solo se da la igualdad cuando todos los x₁, x₂, …xₙ son iguales.

En el caso de los números combinatorios, por comodidad tipográfica los escribiremos como:

[n↓k] (n sobre k) = n! / [k! * (n-k)!]

Sabemos que Σ [n↓k] (desde k=0 hasta k= n) = 2ⁿ; hay muchas maneras de encontrar este resultado, algunas verdaderamente creativas y de sabor combinatorio, pero la más rápida es desarrollar por el Binomio de Newton: (1+1)ⁿ = [n↓0]+[n↓1]+…+[n↓n]=2ⁿ, c.q.d.

Luego, pasando al segundo miembro los dos sumandos extremos, [n↓0]=[n↓n]=1,

[n↓1]+…+[n↓(n-1)] = 2ⁿ-2, de manera que su media aritmética será:

A=(2ⁿ-2)/(n-1), y la media geométrica, G será tal que:

Gⁿ⁻¹= Π [n↓k] (desde k=1 hasta k=n-1), así que como G ≤ A, elevando a n-1,

Gⁿ⁻¹ ≤ Aⁿ⁻¹ → Π [n↓k] (desde k=1 hasta k=n-1) ≤ [(2ⁿ-2)/(n-1)]ⁿ⁻¹.

Como [n↓0]=[n↓n]=1, dos factores iguales a 1, podemos introducirlos en el producto Π sin que se modifique su valor, de lo que se deduce:

Π [n↓k] (desde k=0 hasta k=n) ≤ [(2ⁿ-2)/(n-1)]ⁿ⁻¹, como se pedía probar. Aún se puede afirmar más, que la desigualdad es estricta, siempre que sea n > 3, pues por lo menos [n↓2]≠[n↓1].