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Hallando un contraejemplo: es claro que 1∈N1∈N, pero la fórmula dada no tiene sentido para n=1n=1. Por tanto el enunciado como está es falso. (Y esto es una demostración, pero de su falsedad).

¿Qué pasa si pedimos que n≥2n≥2? Entonces ambos lados de la fórmula están bien definidos. El objetivo es demostrar la igualdad. Se me ocurre este plan de ataque:

• vamos a simplificar (?) 11−x1⋯xn11−x1⋯xn a una serie de potencias,
• vamos a integrar uno por uno los términos de la serie de potencias,
• vamos a probar que la integral de la serie es la serie de las integrales de los términos, y
• por último, vamos a probar que la serie de las integrales es precisamente la función zeta de Riemann.

Digo “por último” en el desarrollo lógico, pero en realidad lo que vamos a dejar para el final es el tercer paso, porque es el más difícil de justificar rigurosamente.

Si x1,…,xnx1,…,xn son números positivos menores que 11, entonces su producto también lo es, y se cumple la identidad de la serie geométrica

11−x1⋯xn=∑k=0∞(x1⋯xn)k.11−x1⋯xn=∑k=0∞(x1⋯xn)k.

Esto es el primer paso. Vamos con el segundo. Considera la integral del término kk-ésimo de la serie:

∫10⋯∫10xk1⋯xkndx1⋯dxn.∫01⋯∫01x1k⋯xnkdx1⋯dxn.

Para escribir una demostración rigurosa tienes que demostrar por inducción que

∫10⋯∫10xk1⋯xkndx1⋯dxn=(∫10xk1dx1)⋯(∫10xkndxn),∫01⋯∫01x1k⋯xnkdx1⋯dxn=(∫01x1kdx1)⋯(∫01xnkdxn),

que es cierta porque el integrando es separable. (Cumplo con decirte cómo se lleva a cabo la demostración rigurosa, pero no me exijas que la escriba completa yo mismo).

Ahora bien,

∫10xk1dx1=1k+1,∫01x1kdx1=1k+1,

y lo mismo vale para los restantes índices desde 22 hasta nn. O sea,

∫10⋯∫10xk1⋯xkndx1⋯dxn=(1k+1)n.∫01⋯∫01x1k⋯xnkdx1⋯dxn=(1k+1)n.

Con esto cumplimos el paso 2. Aquí insertas la demostración rigurosa del paso 3 (pero de eso vamos a hablar más adelante), concluyendo que

∫10⋯∫10∑k=0∞(x1⋯xn)kdx1⋯dxn=∑k=0∞(1k+1)n.∫01⋯∫01∑k=0∞(x1⋯xn)kdx1⋯dxn=∑k=0∞(1k+1)n.

Pero (con un cambio de variable) el lado derecho es precisamente ζ(n)ζ(n). Eso termina la prueba.

Lo único que no hemos justificado todavía es que las integrales se pueden “meter dentro” de la serie. Estuve un rato intentando justificarlo usando la integral de Riemann (a fin de cuentas, es una grosería no emplear la integral de Riemann para resolver un problema que involucra la función zeta de Riemann), pero no encontré una manera práctica. Al final tuve que sacar la artillería pesada: la integral de Lebesgue, y específicamente el teorema de convergencia monótona:

Sea fjfj una sucesión no decreciente de funciones reales medibles en un espacio de medida XX, y sea f(x)=limfj(x)f(x)=limfj(x). Entonces ff es medible y ∫Xf=lim∫Xfj∫Xf=lim∫Xfj.

Aquí tomamos X=[0,1]n,X=[0,1]n, x=(x1,…,xn)∈Xx=(x1,…,xn)∈X, y fj(x)=∑jk=0(x1⋯xn)kfj(x)=∑k=0j(x1⋯xn)k, la sucesión de sumas parciales de nuestra serie. Concluyes que

∫X∑k=0∞(x1⋯xn)kdμ=limj→∞∫X∑k=0j(x1⋯xn)kdμ.∫X∑k=0∞(x1⋯xn)kdμ=limj→∞∫X∑k=0j(x1⋯xn)kdμ.

De ahí basta usar la linealidad de la integral del lado derecho, ahora que la suma es finita, para concluir lo que buscabas,

∫10⋯∫10∑k=0∞(x1⋯xn)kdx1⋯dxn=limj→∞∑k=0j(x1⋯xn)kdx1⋯dxn.∫01⋯∫01∑k=0∞(x1⋯xn)kdx1⋯dxn=limj→∞∑k=0j(x1⋯xn)kdx1⋯dxn.