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Empecemos por una definición:

Un polinomio no constante f(x)∈F[x]f(x)∈F[x] es irreducible sobre un cuerpo FF si f(x)f(x) no puede ser expresado como producto de dos polinomios g(x)g(x) y h(x)h(x) en F[x],F[x], donde los grados de g(x)g(x) y h(x)h(x) son ambos menores que el grado de f(x).f(x). Los polinomios irreducibles funcionan como los “números primos” de los anillos de polinomios.

Lo primero que hay que notar siendo cúbica es que al menos hay una solución "real" (digo al menos, pueden ser las 3), pero es ¿racional?

Pero no me voy a meter en álgebra abstracta en la cuál hay varios criterios para resolver esta cuestión, lo voy a hacer como nos enseñaron en la escuela (sin darle el nombre de lema de Gauss), como la pregunta se refiere al dominio de integridad sobre el cuerpo de los números racionales, no nos va a hacer falta resolver la ecuación (criterio más rápido) que aunque sea una cúbica reducida los cálculos a mano son laboriosos.

En el cole nos decían:

1. Para calcular las raíces enteras de una ecuación, hay que buscarlas entre los divisores del término independiente a0a0. En nuestro caso es 11, que justamente es primo luego sus divisores son: ±1±1, ±11±11.
2. Para calcular las raíces racionales de una ecuación hay que añadirle al conjunto anterior el cociente de los divisores del término independiente a0a0 entre los divisores del coeficiente principal an,an,que como es un polinomio mónico facilita los cálculos pues sus divisores son±1±1.Así:Así:

D(a0)=D(a0an)=(±1,±11)D(a0)=D(a0an)=(±1,±11)

y comprobamos los 4 candidatos a 0 del polinomio:

f(−1)=(−1)3–7(−1)+11=17≠0f(−1)=(−1)3–7(−1)+11=17≠0

f(1)=13–7∗1+11=5≠0f(1)=13–7∗1+11=5≠0

f(11)=113–7∗11+11=113–6∗11>0f(11)=113–7∗11+11=113–6∗11>0

f(−11)=(−11)3–7(−11)+11=(−11)3+8∗11<0f(−11)=(−11)3–7(−11)+11=(−11)3+8∗11<0

No me importan sus valores, sólo que son distintos de cero y su signo, porque así aplicando el teorema de Bolzano entre -1 y -11 se encuentra al menos una raíz. Afinemos el intervalo:

f(−4)=(−4)3–7(−4)+11=−64+28+11=−25f(−4)=(−4)3–7(−4)+11=−64+28+11=−25

es decir:

∃c∈[−4,−1]:f(c)=0∃c∈[−4,−1]:f(c)=0

Por lo tanto en ese intervalo tenemos al menos una raíz que será real pero no racional puesto que ninguno de nuestros candidatos a solución racional ha dado cero.

Por tanto podemos afirmar que el polinomio f(x)=x3–7x+11f(x)=x3–7x+11 es irreducible sobre el cuerpo QQ .

A modo de confirmación veamos con geogebra dicha función, en la cual se confirma que hay una raíz real y dos complejas conjugadas porque francamente ni me acuerdo de las fórmulas de Cardano-Vieta y tendría que deducirlas, lo cuál es fácil, pero aun así hay muchos radicales por ahí involucrados y la verdad es que gráficamente es más intuitivo:

Eso sin haber utilizado álgebra abstracta y sus conceptos, tan sólo conocimientos adquiridos en la enseñanza básica.