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Los ceros (o raíces) del trinomio cuadrático son φ=(1+√5)/2 (¡la Divina Proporción! o el número de oro, también llamado la proporción áurea) y como la suma de ambos es 1 (en el caso general, ax²+bx+c=0, con a≠0, la suma es -b/a), el otro "cero" es (1-√5)/2.

Pero si la ecuación fuera de grado mayor que 4, salvo excepciones muy improbables, no podrían expresarse los ceros mediante radicales; y aún pudiendo expresarse en tal caso o incluso en el caso de ecuaciones cúbicas y cuárticas, la manipulación algebraica con esas expresiones sería punto menos que imposible.

Por tanto, cuando se quiere calcular el polinomio cuyos ceros son los cuadrados de los ceros de otro, o bien, en general, un polinomio cualquiera en esos ceros, pueden emplearse varios métodos que no requieren conocer el valor exacto de dichos ceros.

De hecho, hay una regla general para calcular los coeficientes de un polinomio cuyos ceros sean los cuadrados de los ceros de otro polinomio dado. Y se emplea muy especialmente en el método de Gräffe para resolver numéricamente ecuaciones algebraicas de cualquier grado.

El método general, desde luego, es la Teoría General de la Eliminación, aplicada a un sistema de ecuaciones polinómicas; aplicarlo en este caso resulta muy sencillo:

x²-x-1=0 (I)

y=x²; eliminamos x, en el caso general, tratándose de dos ecuaciones con dos incógnitas, puede emplearse, por ejemplo, el método de Sylvester, que conduce a una resultante notable, expresada en forma de determinante; en este caso, sin embargo, podemos sustituir simplemente y por su valor en la primera ecuación:

y-x-1=0 (II)

y=x² (III) → para eliminar x, la despejamos en (II) y elevamos al cuadrado:

x=y-1 → x²= y²-2y+1 → cada vez que sale x² podemos sustituirla por y, de modo que:

y=y²-2y+1 → y²-3y+1=0, es la ecuación cuyas raíces son los cuadrados de las raíces de (I). Así que el polinomio buscado es (cambiando y por x) x²-3x+1, o ese mismo polinomio multiplicado por cualquier constante.

Aunque parezca particular, este método es general, algunos tratados clásicos de álgebra lo llamaban "método rápido de eliminación", y sirve para eliminar incógnitas en sistemas de cualquier grado, una especie de método de reducción aplicado a las diversas potencias de una misma incógnita; aunque la resultante puede ser terrorífica si los grados son relativamente altos, es cierto que en esos casos también la resultante se complicaría independientemente del método utilizado.

Otro método de eliminación más particular es el de las funciones simétricas, un método general de eliminación de gran belleza e importancia teórica, aunque poco práctico, por ser muy laborioso, en casos de polinomios de grado superior al segundo:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)²-2x₁x₂=1²-2*(-1)=3

x₁²x₂² = (x₁x₂)²=1, de modo que el polinomio que tiene por raíces x₁² y x₂² será:

a(x-x₁²)(x-x₂²) = a [x² -(x₁² + x₂² )x+x₁²x₂²] = a(x²-3x+1) donde a es cualquier constante; por supuesto, el más sencillo sale con a=1 → x²-3x+1.

La asombrosa proporción áurea

(dedicado a Pablo Serrano, devoto de esta divinidad)

Aunque la proporción áurea merece un libro entero, no puedo resistirme a citar aquí una de sus tantas propiedades aritméticas apasionantes:

φ²-φ-1 = 0 → φ²=φ+1 → (dividiendo por φ) → φ = 1+1/φ. Pero ahora tenemos delante nada menos que…¡el infinito! Porque podemos sustituir otra vez φ por 1+1/φ para llegar a:

φ=1+1/(1+1/φ) y repitiendo el artificio:

φ=1+1/[1+1/(1+1/φ)…de donde, en el límite, obtenemos para φ la fracción continua infinita:

φ=1+1/{ [1+1/(1+1/1+…) ] }, o en forma tipográfica más cómoda:

φ= [1,1,1,1,1,…]: la fracción continua infinita en la que todos sus cocientes incompletos son iguales a la unidad…sin querer ser místicos ni esotéricos, como los numerólogos y astrólogos de la Edad Media, hay que admitir que es de una armonía infinita y gloriosa…pero es que además, las distintas "reducidas" (o fracciones convergentes) son: 1/1, 1+1/1, 1+1/(1+1/1)…, es decir:

1/1, 2/1, 3/2, 5/3,8/5, 13/8, 21/13…¡los cocientes de cada número de Fibonacci entre el número de Fibonacci anterior…y cuando se quiere calcular el MCD de esos dos términos de la fracción (que por supuesto va a dar 1) el número de divisiones del algoritmo de Euclides es el máximo posible entre números de ese mismo orden de magnitud…(es un teorema).

La relación íntima entre los números de Fibonacci y los del triángulo de Pascal dan a la proporción áurea un "aura" (valga el juego de palabras) de Divinidad numérica, y de belleza aritmético-geométrica…y de muchas más propiedades, como las espirales prodigiosas que no caben en esta respuesta.