¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda al aire 211 veces, en esta me salga "cara" 208 veces? (no hace falta que sean 208 veces...

Si la pregunta se refiere a 208 veces exactas… se puede plantear de diferentes formas.

Una de ellas sería el planteamiento usando combinatoria.
Este planteamiento consistiría en ver las diferentes formas de ordenar 211 elementos en los que uno, la cara, se repite 208 veces y otro, la cruz, se repite (211–208) = 3 veces… Y luego dividir estos casos entre todos los casos posibles que puede haber al lanzar una moneda 211 veces, que son 2^211 (2 elevado a 211).

Sería aplicar la fórmula básica de las probabilidades, que es dividir los casos favorables entre todos los casos posibles… eso sí, asegurándose de que tanto los favorables como los posibles son equiprobables, claro. Claramente cada una de las sucesiones ordenadas de caras y cruces que pueden salir son equiprobables.

El primer cálculo se podría hacer mediante permutaciones con repetición:

PR211208,3=211!208!⋅3!=211∗210∗2093∗2∗1=211∗209∗35=1543465PR208,3211=211!208!⋅3!=211∗210∗2093∗2∗1=211∗209∗35=1543465

Ese cálculo significa que tenemos 211 resultados de tiradas las monedas, donde uno se repite 208 veces y otro se repite 3 veces, y calculamos el número de formas diferentes de ordenar esos elementos… por ejemplo, las 208 caras primero y las 3 cruces al final, 207 caras primero, una cruz, otra cara y 2 cruces, etc.

Aparte de permutaciones con repetición, también podemos verlo como combinaciones, ya que tenemos un conjunto de 211 elementos, cada uno un número de tirada, y tenemos que escoger subconjuntos de 3 elementos que serían cuáles de esos elementos son las caras. Ejemplo: que las caras estén en las posiciones {209, 210, 211} o que estén en {208, 210, 211}. Nótese que aquí no importa el orden.

C(211,3)=(2113)=211!208!⋅3!=1543465C(211,3)=(2113)=211!208!⋅3!=1543465

También podemos darnos cuenta que es un número combinatorio, como los que aparecen en el binomio de Newton.
Cuando hacemos (a+b)211=a211+(2111)a210b+(2112)a209b2+(2113)a208b3+…+b211(a+b)211=a211+(2111)a210b+(2112)a209b2+(2113)a208b3+…+b211

PR211208,3=(2113)=211!208!⋅3!=211∗210∗2093∗2∗1=211∗209∗35=1543465PR208,3211=(2113)=211!208!⋅3!=211∗210∗2093∗2∗1=211∗209∗35=1543465

Además, si a = “probabilidad de cara en una tirada” y b=”probabilidad de cruz en una tirada” ese binomio de newton sería:
(a+b)211=(0.5+0.5)211=1211=1(a+b)211=(0.5+0.5)211=1211=1

=a211+(2111)a210⋅b+(2112)a209⋅b2+(2113)a208⋅b3+…+(2111)a⋅b210+b211=a211+(2111)a210⋅b+(2112)a209⋅b2+(2113)a208⋅b3+…+(2111)a⋅b210+b211
Eso quiere decir que si sumamos la probabilidad de salgan 211 caras, la de que salgan 210 caras, …. hasta la de que salgan 0 caras, el resultado será 1… es decir, en el 100% de los casos saldrá un número de caras entre 0 y 211, siendo el caso de 208 uno de los sumandos.

La probabilidad sería, dividiendo casos favorables por los posibles:

P(“208caras”)=15434652211=1.54∗1063.29∗1063=4.69∗10−58P(“208caras”)=15434652211=1.54∗1063.29∗1063=4.69∗10−58

Otra forma de plantearlo es usando directamente una fórmula que cubre este problema, que se llama Distribución Binomial:

Distribución binomial - Wikipedia, la enciclopedia libre

Cada tirada de dados es un ensayo estadístico o aleatorio que se conoce como “ensayo de Bernoulli” y la variable aleatoria que nos da la probabilidad de que el número de aciertos (en n ensayos de Bernoulli) sea k se llama Distribución Binomial.

B(n,p)[x=k]=(nk)∗pk∗(1−p)n−kB(n,p)[x=k]=(nk)∗pk∗(1−p)n−k

Nótese que esta fórmula sirve también cuando la moneda está trucada.
(cuando la probabilidad "p" de que salga cara en una tirada no sea 0.5)

Sustituimos en la fórmula:

P(“208caras”)=B(211,0.5)[x=208]=P(“208caras”)=B(211,0.5)[x=208]=

=(211208)∗(0.5)208∗(1–0.5)3==(211208)∗(0.5)208∗(1–0.5)3=

=(211208)∗(0.5)211==(211208)∗(0.5)211=

=15434652211==15434652211=

=4.69∗10−58=4.69∗10−58

La cifra es extremadamente pequeña… similar a que te toque la Lotería Primitiva 8 veces seguidas, jugando una apuesta cada vez y acertando los 6 números cada vez. O que te toque el gordo de la Lotería de Navidad unas 11 veces seguidas jugando solamente a un número cada vez…

Si el problema se refería a 208 veces o más, lo dejo como ejercicio, hay que sumar 4 casos: el de 208, el de 209, el de 210 y el de 211 caras… El resultado es muy parecido, una probabilidad muy baja, muy similar a la anterior cifra.

El número de caras más probable que podrían salir sería 105 ó 106, ambos con la misma probabilidad, que resulta ser cada una algo más del 5% y en conjunto casi el 11%