¿Se ha refutado formalmente la posibilidad de generar un número aleatorio utilizando la matemática pura?

Es una excelente pregunta… Pero creo que estás confundiendo algunas cosas.

1. ¿Qué consideras por número aleatorio?, lo de ser aleatorio no es propiedad de un único número. Por ejemplo, si te digo: el 7 es aleatorio esa pregunta no tiene sentido. Ser aleatorio es propiedad de una secuencia de números. No de un número en particular.
2. Al decir "Se ha refutado" estás asumiendo que es imposible que se pueda generar un número aleatorio. Lo que me lleva a
3. ¿Qué consideras aleatorio? Los dígitos de pi son aleatorios en el sentido que no podemos predecir que dígito aparecerá en cierta posición. Los números primos son aleatorios en el sentido de que no podemos saber con antelación que número primo ocupa la posición nn. Y así sucesivamente.

Con este nuevo conocimiento, reformularé la pregunta para darle una respuesta más adecuada:

Dada una secuencia de números cualquiera, ¿Se ha refutado formalmente la posibilidad de encontrar un número aleatorio en la secuencia?

Ahhh, mucho mejor, como dije, lo de "aleatorio" es propiedad de una secuencia de números. Y decimos que un número en la secuencia es aleatorio si no podemos predecir en qué posición aparecerá. Si esta es tu definición de aleatorio, mi respuesta es que si se pueden encontrar números aleatorios en algunas secuencias. Como las que ya mencioné, los dígitos de pi, los números primos, etc.

Por ejemplo, mira este número:

Esto lo acabo de escribir en Python mientras respondía la pregunta, te preguntaré yo a ti, ¿ese número es aleatorio? Claro, yo no pude predecir que ese número en específico iba a aparecer, pero lo único que lo hace aleatorio, es que está en esta secuencia en específico, y es el primero. Si lo pusiera en una secuencia de números como:
n∈N,a0=0.6154875846496916,an+1=ann∈N,a0=0.6154875846496916,an+1=an. En esta secuencia, todos los términos son ese número, y en esa secuencia ese número es super predecible, agarra una posición cualquiera, digamos el término 100 de la secuencia, te puedo garantizar que ese número, a100a100 será también ese número. Luego, lo que hace a ese número "aleatorio" es que apareció en esta secuencia en específico. Veamos que otros números de la secuencia hay:

Parece que siempre aparecen números cerca de 0.60.6, pero te prometo que yo no modifique de ninguna forma esto. Esos fueron los números que me aparecieron en el primer intento. Y si siguiera generando números aleatorios, yo no podría predecir cual número aparecerá en que posición. Luego, la secuencia es aleatoria, no cada número en específico. La secuencia completa es aleatoria, porque no puedes predecir que aparecerá después basándote en lo que ha aparecido antes. Ahora, si insistes en creer que un número específico puede ser aleatorio, te recomiendo este video, es muy bueno:

Tiene subtítulos al español por si al caso… Solo para hacerte una idea de que trata el video:

"Hey Vsauce, Michael aquí, y Derek… Generar.", Derek procede a generar un número "aleatorio" entre el 1 y el 100 de la página Random.org

"¿78?… Eso es tan aleatorio, ¿O no?"

Así comienza el video. Ojalá te sirva mi respuesta :3