¿Cuál es la probabilidad de que la media de dos observaciones independientes de una distribución rectangular esté entre 1/4 y 3/4?

14≤x+y2≤3414≤x+y2≤34

12≤x+y≤3212≤x+y≤32

12−x≤y≤32−x12−x≤y≤32−x

pero la variable "y" nunca puede valer menos de 0 o más de 1, luego

max(0,12−x)≤y≤min(1,32−x)max(0,12−x)≤y≤min(1,32−x)

Esto da lugar a estos dos casos

0≤x≤12⟹12−x≤y≤10≤x≤12⟹12−x≤y≤1

12≤x≤1⟹0≤y≤32−x12≤x≤1⟹0≤y≤32−x

Y hacemos las dos integrales dobles cuya suma será la probabilidad

∫120∫112−xdydx+∫112∫32−x0dydx=∫012∫12−x1dydx+∫121∫032−xdydx=

∫120(12+x)dx+∫112(32−x)dx=∫012(12+x)dx+∫121(32−x)dx=

[x2+x22]120+[3x2−x22]112=[x2+x22]012+[3x2−x22]121=

14+18−0−0+32−12−34+18=14+18−0−0+32−12−34+18=

2+1+12−4−6+18=68=0.75=75%2+1+12−4−6+18=68=0.75=75%

Bueno, este caso sencillo se puede resolver con un poco de geometría solamente. Tomemos el cuadrado 1x1 y dibujemos el área que cumple las condiciones.

x+y2≥14⟹x+y≥12⟹y≥12−xx+y2≥14⟹x+y≥12⟹y≥12−x

x+y2≤34⟹x+y≤32⟹y≤32−xx+y2≤34⟹x+y≤32⟹y≤32−x

Ahora dibujamos esas rectas y localizamos la zona del cuadrado 1x1 que cumple las desigualdades. Recordemos que una desigualdad divide el plano en dos zonas, una que la cumple y otra que no, basta tomar un punto que no sea de la recta y si cumple la desigualdad esa zona es la cumple, y si ese punto no la cumple, la zona que cumple es la contraria. Hecho todo esto queda este dibujo.

Y es muy fácil calcular el área coloreada.

1−0.5⋅0.52−0.5⋅0.52=1−0.5⋅0.5=1−0.25=0.751−0.5·0.52−0.5·0.52=1−0.5·0.5=1−0.25=0.75