¿Puedo probar que 0/0 = 1 porque x/x = 1 es el mismo que x = x vía multiplicación de x?

No.
(Bueno, como explico al final, puede ser, pero únicamente cuando 1=0… un caso muy raro y poco práctico, de un conjunto de un elemento, {0}, en el que podríamos decir que exista inversa de 0 y que 0/0 = 0 = 1)

0/0 es una expresión que significa: 0 multiplicado por el inverso (multiplicativo) de 0… pero 0 no tiene inverso multiplicativo, así que no se puede dividir por 0.

Es fácil ver que no existe inverso multiplicativo del 0:
El inverso multiplicativo sería un elemento inv(e) tal que e*inv(e) = 1
Ahora bien, si e = 0, el inverso de e sería un número tal que
0 * inv(0) = 1
Pero 0 * x = 0 para todo x… así que no hay ningún x que sea el inverso del 0, y, por tanto, no tiene sentido dividir por 0.

En cuanto a la segunda parte:

x/x = x * inv(x)
Y eso es 1 cuando x es distinto de 0. Porque ya dije que el 0 no tiene inverso.

Por otro lado, la expresión x = x siempre es cierta… pero no es lo mismo que la expresión x/x = 1 porque esta última solamente tiene sentido cuando x no es 0.

Es decir, de 2=2 puedes pasar dividiendo por 2 a 2/2 = 1
Pero de 0=0 no puedes pasar a 0/0 = 1 porque no puedes dividir por 0, ya que no existe el inverso de 0.

Otro ejemplo. Podemos definir “entero mitad” a aquel entero que multiplicado por 2 nos de otro entero… Y es fácil ver que los impares no tienen “entero mitad” porque ningún entero multiplicado por 2 va a dar nunca un impar.
Entonces, decir el “entero mitad de 5” no tiene sentido, no existe.
Aunque este ejemplo tiene una diferencia, porque podemos inventar un nuevo conjunto en el que existen las mitades, y tercios, etc… el conjunto de números racionales o fraccionarios.
Cuando hablamos de raíz cuadrada la raíz de -1 “no existe” en el conjunto de los reales, pero podemos ampliar los reales a otro conjunto llamado “Números Complejos” donde sí exista.

¿Podríamos inventar un conjunto donde exista el “inverso del 0”?
Creo que en algunos casos ¡Sí!

Sea un conjunto {0}, que solamente tiene el 0.
En este conjunto podemos definir operaciones, que siempre darán 0.
a + b = 0
a * b = 0
El 0 sería elemento neutro de la multiplicación, porque 0*algo =algo, ya que ese algo solamente puede ser 0.
Existiría inverso del 0, porque existe un elemento, tal que multiplicado por 0 da el elemento neutro, que es el cero. Ese inverso del 0 sería 0.
0/0 = 0*inv(0) = 0*0 = 0
En este conjunto, x = x no implica que x/x = 1… a menos que digamos que “1” es otra forma de llamar al “0”, ya que “1” es la notación de “elemento neutro” y el elemento neutro aquí es el cero.

Solamente en este caso podríamos decir que 0/0 = 1

Aunque quizá mi ejemplo no haga otra cosa que confundir a algunos…
Sería como decir que 0/0 = 1 solamente cuando 1=0.

Si existe inverso de 0, entonces 0*inv(0) = 1…
Pero 0*x = 0 … así que eso solamente puede cumplirse cuando 1=0… que sería el ejemplo de conjunto de un solo elemento que dije.

Nótese como curiosidad, que en los otros casos, como el de −1−−−√−1 al crear un nuevo elemento para una operación que antes no tenía un resultado en el conjunto se ampliaba el conjunto… pero en este caso, si intentamos que exista inverso de 0, no solamente no se amplía sino que el conjunto queda reducido a un único elemento, y, por tanto, un conjunto carente de utilidad.