¿Existe algún punto de la función y = ln ((1-Cos(x)) / (1+Cos(x))) en el que la recta tangente tenga pendiente 2?

La función f(x) = log [ (1 - cos x) / (1 + cos x) ] se puede simplificar bastante, lo suficiente como para convertir el ejercicio en algo muy simple:

Las dos identidades trigonométricas básicas aquí son:

1+cos x = 2 cos²(x/2)

1-cos x = 2 sen² (x/2) → f(x) = log { [2 sen² (x/2)] / [2 cos² (x/2) ]} =

= log { [sen² (x/2)] / [cos² (x/2) ] } = log [tan² (x/2)] = 2 log [tan (x/2) ].

En definitiva, la función dada es ésta: f(x) = 2 log [tan (x/2) ]. Está definida y es continua y derivable en todo punto x en que tan (x/2) > 0, es decir, en (0, π), por lo menos, está bien definida.

Supongamos pues que nos limitamos al dominio (0, π),

f : (0, π) → ℝ ,, f(x) = 2 log [tan (x/2) ].

Para que en un cierto punto del dominio la pendiente de la tangente sea exactamente 2, debe ser la derivada en ese punto igual a 2.

Calculemos la derivada:

f'(x) = [2 / tan (x/2) ] [1+tan² (x/2) ] * (1/2) =

= 2 [cot (x/2)] [1+tan² (x/2) ] * (1/2) = [cot (x/2) ] [1+tan² (x/2) ] =

= cot (x/2) + tan (x/2) .

La ecuación trigonométrica que expresa la condición pedida será:

cot (x/2) + tan (x/2) = 2 → cambio de variable tan (x/2) = z → z + 1/z = 2 →

z² - 2z + 1 = 0 → z = 1 (raíz doble) → tan (x/2) = 1 ; [ con x/2 Є (0, π/2) ] →

x/2 = π/4 → x = π/2 .

Por tanto, tenemos f'(π/2) = cot π/4) + tan (π/4) = 1 + 1 = 2.

Así pues, la tangente a la curva y = f(x) en el punto π/2 tiene pendiente 2, y la ecuación de esa recta tangente será:

y - f(π/2) =f'(π/2) (x-π/2) ; como f(π/2) = 2 log [ tan (π/4) ] = 2 log 1 = 0,

la recta tangente en el punto (π/2, 0) será, por tanto:

y = 2 (x-π/2) → y = 2x - π , y queda resuelto el problema.