01 Trabajo Práctico Nro 1 (RECTA TANGENTE)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 1 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(APLICACIONES DE LA DERIVADA: RECTA TANGENTE) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN UN PUNTO 
Primeramente vamos a recordar la siguiente expresión 
𝑓′(𝑥0) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
 
para observar que el cociente 
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)
ℎ
 es la pendiente de la recta secante a la representación 
gráfica de 𝑓 que pasa por los dos puntos (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0)) y (𝑥0 + ℎ ; 𝑓(𝑥0 + ℎ)), y que al hacer 
tender ℎ a 0, la recta deja de pasar por los dos puntos anteriormente señalados para pasar por 
un único punto de contacto, pasando de ser una recta secante a ser una recta tangente a la 
representación gráfica de la función 𝑓 en el punto (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0)) 
𝑓′(𝑥0) es la pendiente de la recta tangente a la representación gráfica de 𝑓, brindada por la 
fórmula 𝑓(𝑥), en el punto de abscisa 𝑥 = 𝑥0 
 
En el gráfico precedente vemos la representación gráfica de una función cuadrática 𝑓, un punto 
𝐴 de coordenadas 𝐴 = (𝑥𝐴 ; 𝑓(𝑥𝐴)) y en ese punto está trazada la recta tangente, el valor de la 
pendiente de la recta tangente es 𝑓′(𝑥𝐴) 
Vamos a resolver algunos ejercicios de la Guía de Trabajos Prácticos: 
Ejercicio 8 
 b) 
En este ejercicio se piden, si existen, los valores de 𝑥 para los cuales la pendiente de la recta 
tangente a la función 𝑓 vale 5, siendo en este caso 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 
Entonces, vamos a derivar a 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 obteniendo 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 1 e igualamos la derivada 
a 5, que es lo pedido: 
3𝑥2 + 1 = 5 
3 
 
3𝑥2 = 5 − 1 
𝑥2 =
4
3
 
|𝑥| = √
4
3
 
Entonces los valores de 𝑥 son: 
𝑥1 =
2
√3
 ; 𝑥2 = −
2
√3
 
𝑥1 =
2
√3
√3
√3
 ; 𝑥2 = −
2
√3
√3
√3
 
𝑥1 =
2
3
√3 ; 𝑥2 = −
2
3
√3 
Ejercicio 9 
Nos piden las ecuaciones explicitas de la recta tangente y normal a las curvas dadas por las 
fórmulas de las funciones que nos presentan en los puntos de abscisas que nos indican. 
La ecuación explicita de la recta tangente a la representación gráfica de 𝑓 en el punto de abscisa 
𝑥0 es: 
𝑦𝑡 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 
c) 
dada la función de fórmula 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 para calcular la ecuación de la recta tangente en 𝑥2 = 1 
necesitamos calcular la función y la derivada en 1 
𝑓(1) = 𝑒1
2
= 𝑒 
𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥
2
∙ 2𝑥 ⇒ 𝑓′(1) = 𝑒1
2
∙ 2 ∙ 1 = 2𝑒 
Entonces, la ecuación explicita de la recta tangente es: 
𝑦𝑡 = 2𝑒(𝑥 − 1) + 𝑒 
𝑦𝑡 = 2𝑒𝑥 − 2𝑒 + 𝑒 
𝑦𝑡 = 2𝑒𝑥 − 𝑒 
La ecuación explicita de la recta normal en el punto de abscisa 𝑥 = 𝑥0 es: 
𝑦𝑛 = −
1
𝑓′(𝑥0)
(𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0) 
con 𝑓′(𝑥0) ≠ 0 
4 
 
Vamos a tener en cuenta que la recta normal es perpendicular a la recta tangente, por eso al 
multiplicar sus pendientes resulta −1 
Calculemos entonces la ecuación de la recta normal de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 en el punto de abscisa 𝑥2 =
1 
𝑦𝑛 = −
1
2𝑒
(𝑥 − 1) + 𝑒 
𝑦𝑛 = −
1
2𝑒
𝑥 +
1
2𝑒
+ 𝑒 
𝑦𝑛 = −
1
2𝑒
𝑥 +
1 + 2𝑒2
2𝑒
 
 
En el gráfico anterior está representada la función 𝑓 de fórmula 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2
 la recta 𝑔 es la 
tangente y la recta ℎ es la normal, ambas calculadas en el punto de abscisa 𝑥2 = 1 
 b) 
𝑓(𝑥) = sen 𝑥 
Calculemos la recta tangente y la recta normal a la función en 𝑥2 =
𝜋
2
 
Para ello calculemos la función y su derivada en un punto 
𝑓 (
𝜋
2
) = sen (
𝜋
2
) = 1 
𝑓′ (
𝜋
2
) = cos 𝑥 ⇒ 𝑓′ (
𝜋
2
) = cos (
𝜋
2
) = 0 
Entonces la ecuación de la recta tangente nos queda: 
𝑦𝑡 = 𝑓′ (
𝜋
2
) (𝑥 −
𝜋
2
) + 𝑓 (
𝜋
2
) 
5 
 
𝑦𝑡 = 0 (𝑥 −
𝜋
2
) + 1 
𝑦𝑡 = 1 
En este caso, la recta tangente es una recta horizontal ya que tiene pendiente nula. Entonces, 
para plantear la recta normal, al ser perpendicular a una recta horizontal, la recta normal tiene 
que ser una recta vertical. La recta vertical resulta: 
𝑥 =
𝜋
2
 
En el siguiente gráfico observamos la representación gráfica de la función 𝑓, de la recta tangente 
𝑔 y de la recta normal ℎ 
 
Podemos observar que en un entorno del punto de tangencia (círculo rojo) los valores de la 
función y los valores sobre la recta tangente están próximos, utilizaremos esta propiedad para 
aproximar valores de una función utilizando la recta tangente. 
Ejercicio 11 
En este ejercicio nos piden calcular un valor aproximado, por ejemplo, de √124
3
 
Para ello vamos a considerar la función 𝑓(𝑥) = √𝑥
3 y sin calculadora puedo calcular 
𝑓(125) = √125
3
= 5 
Elijo el número 125 porque está cercano a 124 
Ahora vamos a calcular la recta tangente a la curva de la representación gráfica de función 𝑓 en 
el punto de abscisa 𝑥0 = 125 
La expresión queda: 
6 
 
𝑦𝑡 = 𝑓
′(125)(𝑥 − 125) + 𝑓(125) 
𝑓(𝑥) = 𝑥
1
3 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
1
3
𝑥−
2
3 
𝑓′(125) =
1
3
125−
2
3 =
1
75
 
Entonces la recta tangente queda: 
𝑦𝑡 =
1
75
(𝑥 − 125) + 5 
𝑦𝑡 =
1
75
𝑥 −
5
3
+ 5 
𝑦𝑡 =
1
75
𝑥 +
10
3
 
Ahora, aproximamos el valor de la función en 𝑥 = 124, es decir 𝑓(124), con el valor que se 
obtiene sobre la recta tangente en 𝑥 = 124, lo que resulta: 
𝑓(124) ≅ 𝑦𝑡(124) 
𝑓(124) ≅
1
75
124 +
10
3
 
𝑓(124) ≅
374
75
 
Si utilizamos la calculadora y tomamos como si el valor de la calculadora fuera exacto, podríamos 
calcular el error absoluto 𝐸𝐴 y el error relativo 𝐸𝑅 de nuestra aproximación: 
𝐸𝐴 = |𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜| 
𝐸𝑅 =
𝐸𝐴
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜
 
Si tomamos como valor exacto al provisto por la calculadora √124
3
= 4,986630952 y realizamos 
el cálculo también de 
374
75
= 4,986666667 entonces: 
𝐸𝐴 = |4,986630952 − 4,986666667| = 0,000035715 
𝐸𝑅 =
0,000035715
4,986630952
= 0,000007162150226 
Ahora vamos a ver otro ejemplo: vamos a hallar el valor aproximado de 3𝑒−0,2, y para ello vamos 
a tomar como función a 𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥 y calculamos la recta tangente en el punto de abscisa 𝑥0 =
0, entonces: 
𝑦𝑡 = 𝑓
′(0)(𝑥 − 0) + 𝑓(0) 
𝑓(0) = 3𝑒0 = 3 
7 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3𝑒𝑥 
𝑓′(0) = 3𝑒0 = 3 
La ecuación de la recta tangente en 𝑥0 = 0 es: 
𝑦𝑡 = 3(𝑥 − 0) + 3 
𝑦𝑡 = 3𝑥 + 3 
Ahora aproximo el valor de la función 𝑓(−0,2) = 3𝑒−0,2 
𝑓(−0,2) ≅ 3(−0,2) + 3 = 2,4 
Si utilizamos la calculadora para obtener un valor de 𝑓(−0,2) = 3𝑒−0,2 y lo tomamos como 
exacto, entonces: 
𝑓(−0,2) = 2,456192259 
Los errores asociados a la aproximación realizada son: 
𝐸𝐴 = 0,056192259 
𝐸𝑅 = 0,022877793 
Traten de calcularlos ustedes mismxs utilizando las fórmulas de cálculo que vimos anteriormente. 
 
En la próxima clase veremos el concepto de Diferencial.