Si f: G1 → G2 es un homomorfismo, pruebe que Ker(f) es un subgrupo normal de G1, es decir, Ker(f) ▹ G1. ¿Cómo puedo probar esto?

En la pregunta se habla de tres conceptos. Por un lado, homomorfismo de grupos. Por otro lado, el núcleo o kernel Ker(f). Y, por último, subgrupo normal.

Repasemos qué es cada cosa.

Definición de Homomorfismo:

De forma breve y en lenguaje bastante llano, es una función que preserva las operaciones.

Más en detalle, cualquier función f que siempre (para cada par de elementos) cumpla esto:

f(a*b) = f(a)☆f(b)

Es decir, que te da igual hacer la operación * en G1 y luego transformar el resultado a G2 que primero transformar cada elemento y hacer la otra operación ☆ en G2. (La otra operación del grupo G2 la representé por la estrellita).

Ejemplo, la función logaritmo, siendo:

G1 = reales mayores que 0 con la multiplicación

G2 = todos los reales con la suma

log(a*b) = log(a) + log(b)

Como curiosidad, esto tiene una utilidad práctica que comenté el otro día [1] : cuando no existían ordenadores se usaban tablas de logaritmos para hacer operaciones como la multiplicación, ya que sumar con papel y lápiz es más sencillo que multiplicar.

Definición de Ker(f):

Simplemente es el conjunto de elementos g de G1 tales que f(g) es el elemento identidad de G2.

Ejemplo: en el caso de los logaritmos la identidad de la suma es el cero, serían elementos tales que log(x) = 0 y sería Ker(log) = {1}.

Definición de subgrupo normal, también llamado invariante (por conjugación) :

Un subgrupo N de un grupo G se llama subgrupo invariante o divisor normal del grupo G, si para todo elemento n de N y cualquier elemento b de G, resulta b−1nb∈Nb−1nb∈N o de otra manera b−1Nb⊂Nb−1Nb⊂N, para cualquier elemento b∈Gb∈G

La imagen representa los conceptos de homomorfismo y Kernel.

Una vez repasado eso, sabemos el punto de partida, la casilla de inicio.

Y miramos a dónde queremos llegar, la casilla de meta.

A lo que queremos llegar es a demostrar la condición de subgrupo normal en un subconjunto de G1.

En la definición de subgrupo normal, vemos que hay una operación, que lógicamente es la operación genérica * de G1.

Tenemos que llegar a que

b−1∗n∗b∈Ker(f)b−1∗n∗b∈Ker(f) siendo n de Ker(f) y siendo b cualquier elemento de G1.

Vemos que en la definición de homomorfismo aparece la operación * que aparece en el destino al que queremos llegar… Se puede comprobar que es el único lugar en el que aparece, dentro de los 3 elementos de partida que teníamos. Por tanto, atando cabos, creo que es bastante lógico o natural hacer lo siguiente:

f(b−1∗n∗b)f(b−1∗n∗b)

Y por la definición de homomorfismo:

f(b−1∗n∗b)=f(b−1)☆f(n)☆f(b)f(b−1∗n∗b)=f(b−1)☆f(n)☆f(b)

Dado que n pertenece a Ker(f), por definición de Ker, el elemento f(n) tiene que ser la identidad de G2.

Y por definición de elemento identidad tenemos:

f(b−1∗n∗b)=f(b−1)☆f(b)f(b−1∗n∗b)=f(b−1)☆f(b)

¿Y qué hacemos con esto? ¿Dónde aparece la estrella en nuestros puntos de partida? Pues en la definición de homomorfismo.

Así que atando cabos tampoco es muy difícil hacer:

f(b−1∗n∗b)=f(b−1∗b)f(b−1∗n∗b)=f(b−1∗b)

Y, obviamente, un elemento por su inverso da como resultado la identidad de G1. (Definición de inverso)

Llamaré I1I1 a la identidad de G1 e I2I2 a la identidad de G2.

f(b−1∗n∗b)=f(I1)=I2f(b−1∗n∗b)=f(I1)=I2

La segunda igualdad (en lo anterior) es algo que se puede dar por sabido (véase la imagen que puse antes), pero no es difícil de demostrar.

f(I1)=f(I1∗I1)=f(I1)☆f(I1)f(I1)=f(I1∗I1)=f(I1)☆f(I1)

Y multiplicando por el inverso (la existencia de inverso es obligatoria en grupos) :

f(I1)☆f(I1)−1=f(I1)☆f(I1)☆f(I1)−1f(I1)☆f(I1)−1=f(I1)☆f(I1)☆f(I1)−1

Eso es la identidad de ☆, es decir, I2I2

Y teníamos:

f(b−1∗n∗b)=I2f(b−1∗n∗b)=I2

Que por la definición de Ker(f) es lo mismo que decir:

b−1∗n∗b∈Ker(f)b−1∗n∗b∈Ker(f)

Que era lo que queríamos demostrar. Este hecho ahora probado significa que es subgrupo normal de G1.

Ker(f)◃G1Ker(f)◃G1

Me faltó demostrar que Ker(f) es subgrupo de G1G1.

Ser subgrupo equivale a decir que es subconjunto de G1G1 y que tiene estructura de grupo. Que es subconjunto es evidente, por la definición de Ker(f) ya que esa definición habla de un conjunto elementos de G1G1.

Y de todas las propiedades de grupo muchas son evidentes, ya que G1G1 es grupo. Bastaría comprobar que la operación es interna en Ker(f), es decir, que tomando elementos cualesquiera a y b de Ker(f) y operando con ellos el resultado a*b también está dentro de Ker(f). Y también que el inverso de cualquier elemento de Ker(f) también estará dentro.

Sean a,b∈Ker(f)a,b∈Ker(f) … esto es lo mismo que decir f(a)=f(b)=I2f(a)=f(b)=I2

Hay que probar que a∗b∈Ker(f)a∗b∈Ker(f) y esto es lo mismo que decir f(a∗b)=I2f(a∗b)=I2

Pero f(a∗b)=f(a)☆f(b)=I2☆I2=I2f(a∗b)=f(a)☆f(b)=I2☆I2=I2

Esto prueba la primera parte.

Lo segundo es probar que el inverso de un elemento a del núcleo también está dentro de Ker(f).

Pero que esté dentro de Ker(f) es lo mismo que decir f(a−1)=I2f(a−1)=I2

Por la definición de inverso, a∗a−1=I1a∗a−1=I1

Y aplicamos f a esta igualdad.

f(a∗a−1)=f(a)☆f(a−1)f(a∗a−1)=f(a)☆f(a−1)

Pero lo de la izquierda es f(I1)f(I1) que ya probé que es I2I2

Y por ser a del kernel, su imagen es I2I2 … entonces:

I2=I2☆f(a−1)I2=I2☆f(a−1)

Así que el inverso de a también está en el núcleo.

Y con estas dos condiciones quedaría probado que Ker(f) es subgrupo.

Y al haber probado antes que es normal, se ha probado que es subgrupo normal.

Actualizo:

Sin tanta "tontería" la demostración se reduce a unas líneas:

Subgrupo:

a,b∈Ker(f)a,b∈Ker(f) …

⟹f(a∗b)=f(a)☆f(b)=I2☆I2=I2⟹f(a∗b)=f(a)☆f(b)=I2☆I2=I2

Entonces, a∗b∈Ker(f)a∗b∈Ker(f) (operación interna)

I2=f(I1)=f(a∗a−1)=f(a)☆f(a−1)=I2☆f(a−1)=f(a−1)I2=f(I1)=f(a∗a−1)=f(a)☆f(a−1)=I2☆f(a−1)=f(a−1)

(existencia de inverso dentro del núcleo: existe inverso interno, pertenece al núcleo)

Subgrupo normal

Sea n∈Ker(f)n∈Ker(f) (un elemento del núcleo)

⟹f(b−1∗n∗b)=f(b−1)☆f(n)☆f(b)=f(b−1)☆f(b)=f(b−1∗b)⟹f(b−1∗n∗b)=f(b−1)☆f(n)☆f(b)=f(b−1)☆f(b)=f(b−1∗b)

⟹f(b−1∗n∗b)=f(I1)=I2⟹f(b−1∗n∗b)=f(I1)=I2

⟹b−1∗n∗b∈Ker(f)⟹b−1∗n∗b∈Ker(f)

Que era lo que queríamos demostrar. Este hecho ahora probado significa que es subgrupo normal de G1. Ker(f)◃G1Ker(f)◃G1

Notas al pie