¿Me ayudan con la siguiente explicación homogénea (x^2+2xy) y'=-2y^2-3xy?

dydx=−2y2−3xyx2+2xydydx=−2y2−3xyx2+2xy

hacemos el cambio de variable

y=uxy=ux

dydx=dudx⋅x+udydx=dudx·x+u

x⋅dudx+u=−2u2x2−3ux2x2+2ux2=−2u2−3u1+2ux·dudx+u=−2u2x2−3ux2x2+2ux2=−2u2−3u1+2u

x⋅dudx=−2u2−3u1+2u−u=−2u2−3u−u−2u21+2u=−4u2−4u1+2ux·dudx=−2u2−3u1+2u−u=−2u2−3u−u−2u21+2u=−4u2−4u1+2u

∫(−1+2u4u2+4u)du=∫dxx+C∫(−1+2u4u2+4u)du=∫dxx+C

Nótese que para cada C existe una k tal que

ln(x)+C = ln(x) + ln(k) = ln(kx)

de ahí se desprende lo que pongo abajo, es algo que se usa siempre de forma directa sin dar explicaciones porque es muy común.

∫(−1+2u4u2+4u)du=ln(kx)∫(−1+2u4u2+4u)du=ln(kx)

−14∫1+2uu2+udu=ln(kx)−14∫1+2uu2+udu=ln(kx)

−14ln(u2+u)=ln(kx)−14ln(u2+u)=ln(kx)

ln((u2+u)−14)=ln(kx)ln((u2+u)−14)=ln(kx)

1u2+u√4=kx1u2+u4=kx

deshacemos el cambio u=y/x

1y2x2+yx√4=kx1y2x2+yx4=kx

1y2x2+yx=Cx41y2x2+yx=Cx4

Aquí era C=k^4 y ponemos C para ahorrar escritura. Esto es normal hacerlo e incluso no se cambia el nombre de la constante de integración, yo lo hago para que se aprecie que la constante tiene otra forma, pero no haría falta y podríamos llamarla C desde el principio hasta el final.

1y2+xyx2=Cx41y2+xyx2=Cx4

x2y2+xy=Cx4x2y2+xy=Cx4

Cx2(y2+xy)=1Cx2(y2+xy)=1

y2+xy−kx2=0y2+xy−kx2=0

y=−x±x2+4kx2√2=−x±x4+C√2xy=−x±x2+4kx22=−x±x4+C2x