¿Por qué cualquier número elevado a 0 es igual a 1? ¿Podría explicarse con objetos de la vida real además de con operaciones matemáticas?

El porqué: porque el 1 es el elemento neutro de la multiplicación.

Voy a explicar esto.
Aunque sea un poco abstracto intentaré que se entienda.
Una potencia abab se suele empezar definiendo como el resultado de multiplicar el elemento "a" por sí mismo "b veces". La "b" se llama exponente y la "a" se llama base.

a3=a∗a∗aa3=a∗a∗a
a2=a∗aa2=a∗a

Cuando el exponente es 1 la definición simple e intuitiva anterior empieza a flaquear un poco… porque ¿cómo se entiende multiplicar por un número "1 veces" si la multiplicación es una operación que usa dos operandos?
Bueno, quizá resulte bastante lógico decir que:
a*a*a*a
a*a*a
a*a
a

Es como decir que si para aumentar el exponente una unidad multiplicas por "a", como añadir "*a" a la derecha de la expresión entonces para disminuir el exponente una unidad quitas "*a"… pero "quitar '*a'" de la derecha de una expresión en matemáticas se llama dividir por a ¿de acuerdo?

Entonces, de "a^2" se reduce el exponente en una unidad dividiendo por "a" :
a1=a2a=aa1=a2a=a

Siguiendo la misma lógica, de eso se puede deducir que para llegar a exponente 0 tomamos el resultado con exponente 1 y lo dividimos por "a" :

a1a=aa=1a1a=aa=1

Pero nótese que dividir por "a" solamente se puede hacer cuando "a" es distinto de cero.
Lo de "dividir X por Y" lo que significa es encontrar un número que multiplicado por Y de como resultado X. En Álgebra eso se dice de otra manera: se dice multiplicar X por el inverso de Y, es decir, multiplicar X por un elemento, que se denota como Y' o Y−1Y−1 o 1Y1Y que cumple : Y' * Y = 1.
Donde ese "1" es lo que se llama "elemento neutro" de la multiplicación.
Pero resulta que no siempre existe el inverso de un número.
El número 0 no tiene inverso.
Si el 0 tuviese inverso resultaría que habría un número 0' tal que:
0' * 0 = 1
Pero cualquier número multiplicado por 0 da 0… y no existe ninguno, en los números enteros, en los números reales, en los números complejos, etc… que multiplicado por 0 nos de 1. Por tanto, el 0 no tiene inverso.
Y si el cero no tiene inverso no se puede dividir por 0, porque dividir es multiplicar por el inverso.

Dije antes que "a^0" es dividir a1aa1a pero si "a" es cero, como acabo de decir, no se puede dividir por cero, y no existe 0000

Para cualquier otro elemento X, el resultado de X0X0 será multiplicar X por su inverso, y el resultado de multiplicar un elemento por su inverso es siempre el elemento neutro de la multiplicación:
X∗1X=1X∗1X=1

Otra forma de verlo.
La multiplicación A*B se suele empezar a explicar como "sumar un número A el número de veces que indique el otro número B".
¿Y qué pasa cuando multiplicas por A*1?
¿Qué es eso de "sumar A el número de veces igual a 1" ?
Para pasar de A*(n+1) al número A*n se resta A…
Nuevamente la resta es sumar el "inverso" de la suma, que se llama elemento opuesto y se denota como "-A". En el caso de la suma sí existe siempre elemento opuesto.
Sea cual sea el número siempre habrá otro que sumado nos de cero, siendo 0 el elemento neutro de la suma.
Entonces, para pasar de A*2 a A*1 restamos A:
A∗1=A∗2−A=2A−A=(2–1)∗A=1∗A=AA∗1=A∗2−A=2A−A=(2–1)∗A=1∗A=A

Para pasar de A*1 a A*0 restamos A:
A∗0=A∗1−A=A−A=0A∗0=A∗1−A=A−A=0
Y ese 0 es el elemento neutro de la suma.

Esto lleva a la siguiente idea o noción general:
"hacer una operación 0 veces nos debe dar como resultado el elemento neutro de esa operación".

→ hacer la operación suma 0 veces nos da el neutro de la suma, que es el 0
→ hacer una operación multiplicación 0 veces nos da el neutro de la multiplicación, que es el 1.

¿Podría explicarse con objetos de la vida real además de con operaciones matemáticas?

Bueno, esto al principio parece difícil de imaginar.

Aunque con lo que dije antes puede quedar una idea.
Pero quizá resultó una idea un poquito abstracta…

Veamos algunos ejemplos concretos de la vida real:

Virus.
Supongamos que el número de contagios de un determinado virus se multiplica por 2 cada semana.
¿Cómo se calcula el número de contagios al cabo de N semanas si el número al inicio , en tiempo T = 0 es C0C0 ?

T = 0 → C0C0

T = 1 semana → C(1)=C0∗2C(1)=C0∗2
Cada semana se multiplica por 2… así que después de 1 semana habrá el doble.
Los que había al principio multiplicado por 2.

T = 2 semanas → C(2)=C(1)∗2=C0∗2∗2=C0∗22C(2)=C(1)∗2=C0∗2∗2=C0∗22

T = 3 semanas → C(3)=C(2)∗2=C0∗2∗2∗2=C0∗23C(3)=C(2)∗2=C0∗2∗2∗2=C0∗23

En general:
T = N semanas → C(N)=C0∗2NC(N)=C0∗2N

Entonces:
C(0) sería el número de contagios cuando han pasado 0 semanas…
Pero si han pasado 0 semanas, es que estamos en T=0 y dijimos que en ese instante el número de contagios es C0C0

Según la fórmula:
C(0)=C0∗20C(0)=C0∗20

Y acabo de decir que el resultado tiene que dar C0C0

C0∗20=C0C0∗20=C0

¿Cuánto debe valer 2020 para que multiplicado por C0C0 nos de C0C0?
Lógicamente, debe ser 20=120=1

Multiplicando ambos lados por el inverso multiplicativo de C0C0:
1C0∗C0∗20=1C0∗C01C0∗C0∗20=1C0∗C0

1∗20=11∗20=1

20=120=1

Es decir, la potencia con exponente 0 debe ser 1, que es el elemento neutro de la multiplicación, el número que al multiplicar se quede igual el C0C0

¿Os parece un ejemplo suficientemente "real" ???
Bueno, no es del todo exacto, porque es solamente un modelo que calcula los contagios por virus. Un modelo no es algo que pretende ser totalmente exacto, pero que intenta aproximarse y en el caso de los virus se aproxima bastante bien los primeros días o semanas… luego ya no es exactamente esa fórmula.
Afortunadamente, los virus no se extienden indefinidamente hasta matarnos a todos y pasado un tiempo el número de contagiados comienza a disminuir.
Pero para las primeras semanas un modelo exponencial predice con exactitud asombrosa tanto el número de contagios como el número de muertes.

Dinero / inversiones.
Supongamos que hiciste una inversión, como puede ser un depósito bancario, y te dijeron que tiene un interés anual, expresado con un porcentaje P.
El tiempo T=0 sería el año que empezaste esa inversión.
Y en ese instante inicial empezaste con un capital C0C0
¿Cuánto tendrías al siguiente año?
Tendrías el capital inicial y a eso se sumarían los intereses.
Los intereses son : P100∗C0P100∗C0

Por ejemplo, si empezaste con C0=1000eurosC0=1000eurosy si el tipo de interés es P=1%P=1%Entonces los intereses al cabo de un año: 1100∗1000=101100∗1000=10
Los intereses serían 10 euros, que se suman al dinero inicial que tenías.

Al cabo de 1 año tendrías la suma del dinero inicial más los intereses:
C(1)=C0+P100∗C0C(1)=C0+P100∗C0

C(1)=C0∗100+P100C(1)=C0∗100+P100

Si cada año se reinvierten los intereses del año anterior sería:

C(2)=C1+P100∗C1C(2)=C1+P100∗C1

C(2)=C1∗100+P100C(2)=C1∗100+P100

C(2)=C0∗(100+P100)2C(2)=C0∗(100+P100)2

Y, en general:

C(N)=C0∗(100+P100)NC(N)=C0∗(100+P100)N

¿Cuanto tendrías al cabo de N=7N=7 años si P=1%P=1% y C0=1000C0=1000?

C(7)=1000∗(100+1100)7C(7)=1000∗(100+1100)7

C(7)=1000∗(1.01)7=1000∗1.07213535211=1072C(7)=1000∗(1.01)7=1000∗1.07213535211=1072

¿Y cuánto tendrías al cabo de 0 años?
Pues multiplicando 1000 por una potencia de exponente 0 te tiene que dar como resultado el capital inicial… Por tanto esa potencia de exponente cero no puede ser otra cosa que 1.