¿Cómo puedo resolver ecuaciones cuadráticas con trucos cortos?

En los libros de texto "de antes" (no digo antiguos, sino de la época pre-Internética) podían estudiarse un montón de recursos, o trucos (como los llaman aquí en esta pregunta) para resolver ad hoc ecuaciones y sistemas de ecuaciones muy concretos, pero de apariencia muy complicada, aunque solo requerían resolver ecuaciones de primero y segundo grado, o a veces algo un poco más difícil. Pero siempre eran ejercicios más fáciles de lo que el método general hacía suponer a primera vista.

Aquellos "atajos" se llamaban artificios de cálculo ; es una pena que ya no se estudien en la enseñanza reglada, porque eran parte de la aplicación del ingenio a las matemáticas. Naturalmente, no eran de aplicación general, pero en casos particulares servían para abreviar y a veces hasta para hacer posible hallar la solución.

Desgraciadamente, un signo característico de estos tiempos es la prisa.

Por eso, cada vez se estudia más aprisa para poder pasar adelante en el temario, y muy rara vez un estudiante actual consulta algún libro clásico, como ampliación o como curiosidad, porque el orden de los factores en estos casos sí que puede alterar el producto:

No es lo mismo decir "Los libros de texto" que "detesto los libros".

Por dar unos cuantos ejemplos de estos artificios de cálculo de los libros de texto de la época de los dinosaurios, consideremos el

EJERCICIO nº 1:

Resolver el sistema lineal:

x + y + z = 17

x + y + u = 19

x + z + u = 24

y + z + u = 21

Por supuesto que podemos resolverlo por los métodos generales (sustitución, igualación, reducción, o por la regla de Cramer); pero cuando las ecuaciones son tan simétricas casi siempre hay un atajo ; en este sistema falta la u en la primera ecuación, la z en la segunda, la y en la tercera, y la x en la cuarta; el artificio es sumar las cuatro ecuaciones miembro a miembro:

3x + 3y + 3z + 3u = 81 → x + y + z + u = 27 ; pero x + y + z = 17 →

u = 27 - 17 = 10.

También la segunda ecuación del sistema es x + y + u = 19 →

z = 27 - 19 = 8.

La tercera era x + z + u = 24 → y = 27 - 24 = 3

La cuarta era y + z + u = 21 → x = 27 - 21 = 6.

SOLUCIÓN: x = 6 ; y = 3 ; z = 8 ; u = 10.

Sin embargo, en esta pregunta nos piden artificios para ecuaciones cuadráticas, y se puede usar esta misma idea en el ejercicio 2:

EJERCICIO nº 2:

xy = 6

xz = 10

yz = 15

Son tres ecuaciones de segundo grado, y en cada una falta una incógnita → ahora no sumamos, sino que multiplicamos las tres :

x²y²z² = 900 → xyz = ±√900 = ±30.

Si se elige la primera posibilidad:

xyz = 30 , junto con yz = 15 da x = 30/15 = 2.

xyz = 30 , junto con xz = 10 da y = 30/10 = 3

xyz = 30 , junto con xy = 6 da z = 30/6 = 5.

Si se elige xyz = -30 saldrá x = - 2 ; y = - 3 ; z = - 5.

EJERCICIO nº 3: Resolver la ecuación cuadrática x² - 16 x + 63 = 0.

Es un ejercicio mental: la suma de las raíces de la ecuación

x² + px + q = 0 es - p y el producto de las raíces es q.

En este caso, la suma de las raíces es 16 y el producto es 63, si son enteros podemos resolverlo mentalmente, evidentemente 9 + 7 = 16, 9 * 7 = 63

Luego x₁ = 9 ; x₂ = 7 son las dos soluciones de la cuadrática.

Claro, si no fueran enteras o ni siquiera fueran reales no serviría el "truco", y deberíamos aplicar la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado.

EJERCICIO nº 4 (El cambio de variable) :

(x² + x - 5) (x² + x + 7) = 133. Es una ecuación de cuarto grado en x, pero es reducible al segundo grado (problema típico de oposiciones a profesor de magisterio o de secundaria)

Efectuamos el cambio de variable x² + x - 5 = y ; será x² + x + 7 = y + 12.

Sustituyendo: y (y + 12) = 133 → y² + 12 y - 133 = 0 → podemos aplicar la fórmula cuadrática reducida cuando y² tiene coeficiente 1 y el coeficiente de y es par:

y² + 2px + q = 0 → y = - p ± √(p² - q).

En este caso particular será y = - 6 ± √ (36 + 133) = - 6 ± √169 = - 6 ± 13.

Luego y₁ = 7 ; y₂ = - 19.

Si se toma la primera (y₁ = 7), deshaciendo el cambio, será

x² + x - 5 = 7 → x² + x - 12 = 0 → x = ( - 1 ± 7) / 2 → x₁ = 3 ; x₂ = - 4.

Si se toma la segunda (y₂ = - 19), deshaciendo el cambio, será

x² + x - 5 = - 19 → x² + x + 14 = 0 → x = ( - 1 ± i√55) / 2 →

x₃ = ( - 1 + i√55) / 2 ; x₄ = ( - 1 - i√55) / 2 ; dos raíces complejas conjugadas.

EJERCICIO nº 5 :

x (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 15 ;

Recordemos la útil identidad (x - a) (x - b) = x² - (a+b) x + ab ;

aplicada al caso (x - 1) (x - 2) = x² - 3x + 2 →

ordenando convenientemente los factores,

x (x - 3) (x - 1) (x - 2) = 15 → (x² - 3x) (x² - 3x + 2) = 15.

De nuevo, el cambio de variable es x² - 3x = y →

y (y + 2) = 15 → y² + 2y - 15 = 0 → y = - 1 ± √(1+15) = -1 ± 4.

Tomando y₁ = 3 → x² - 3x = 3 → x² - 3x - 3 = 0 →

x₁ = (3 + √21) / 2 ; x₂ = (3 - √21) / 2.

Tomando y₂ = - 5 → x² - 3x = - 5 → x² - 3x + 5 = 0 → x = (3 ± i√11)/2 →

x₃ = (3 + i√11)/2 ; x₄ = (3 - i√11)/2 (dos raíces complejas conjugadas).

Hay muchísimos más artificios de esta clase y pueden verse algunos, por ejemplo, en el clásico texto en dos tomos (amplísimo) Algebra - An Elementary Text-Book de Chrystal, o también en Higher Algebra, de Hall & Knight (hay traducción española realizada en 1959 por la Unión Tipográfica Editorial Hispano Americana, México); también en los excelentes libros rusos de la ya desaparecida editorial MIR, como PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS ELEMENTALES, de Lidski, Ovsianikov, Tulaikov y Shabunin (algunos de esos problemas se han presentado en olimpliadas matemáticas); o también de la editorial MIR, Solving Problems in Algebra and Trigonometry, de Litvinenko y Mordkovich; y de estos dos últimos autores, véase el excelente y didáctico libro PRÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS.