¿Hay una fórmula inversa para hallar una ecuación cuadrática a partir de los ceros?

En cualquier "libro" de texto (aquellos objetos antiguos que tenían hojas de papel, que se llamaban páginas, y se podían mirar horas y horas, y hasta años sin cargar ninguna batería…) se puede ver la solución, y no sólo para ecuaciones cuadráticas, sino para ecuaciones polinómicas de cualquier grado.

Al contrario que en otros campos, como la arquitectura, por ejemplo, en álgebra a menudo es más fácil construir, que "destruir"; por ejemplo, construir ecuaciones es mucho más fácil que "descomponerlas", o con otras palabras, resolverlas.

En general, si los ceros de un polinomio deben ser a,b,c,…l (números complejos, incluyendo el caso en que uno, algunos o todos sean reales) siendo n en total (y algunos, o incluso todos, pueden estar repetidos, o sea, pueden ser múltiples), la ecuación de grado n que los contiene es única salvo factores constantes, no nulos.

Esa ecuación es A(x-a)(x-b)(x-c)…(x-l)=0, donde A es cualquier constante distinta de cero.

El caso de la ecuación cuadrática es particularmente simple. Si sus raíces -o ceros- deben ser a y b, una ecuación con esas raíces es: (x-a)(x-b)=0, y desarrollando:

x^2-(a+b)x+ab=0. Si designamos la suma como a+b=S, y el producto P=ab, la ecuación con raíces a y b es: x^2-Sx+P=0, o también cualquiera que se obtenga multiplicando el primer miembro de ésta por una constante no nula, esto es, A(x^2-Sx+P)=0; y recíprocamente, es fácil demostrar que toda ecuación cuadrática con raíces a,b es de esta forma, o sea, A(x^2-Sx+P)=0, donde A es cualquier número diferente de cero.

Por ejemplo, si queremos que las raíces sean 6 y -5, tendremos

S=6+(-5)=1, P=6*(-5)=-30, luego la ecuación es: x^2-x-30=0, y resolviéndola podemos comprobar que sus raíces son 6 y -5.

La generalización de esta regla tan sencilla a ecuaciones de cualquier grado conduce a las fórmulas de Cardano-Vieta, que también se pueden ver en casi todos los textos de álgebra elemental. Pero aún sin conocerlas, se puede encontrar la ecuación buscada desarrollando directamente el producto de todos los binomios, que en el caso general sería el ya mencionado producto (x-a)(x-b)(x-c)…(x-l)=0. Esta ecuación es única salvo el factor no nulo y arbitrario, A, que puede multiplicar al polinomio del primer miembro. Si no hay denominadores explícitos, lo más simple es tomar A=1.