¿Terry Tao ha desarrollado un nuevo método para resolver ecuaciones cuadráticas?

Esto es una estupidez, lo que se afirma que "ha descubierto" Tao sobre las ecuaciones de segundo grado lo sabe todo el mundo, al menos, desde el siglo XIX; es otra manera de explicar lo mismo, pero si se objeta en cada paso, aunque todos son correctos, para explicarlo a fondo habría que dar más vueltas que para aplicar la archiconocida fórmula. Y desde luego es correcto, pero como lo son tantos otros "métodos" de resolución de la ecuación cuadrática, y hay que poner comillas porque en realidad todos conducen a lo mismo pese a su apariencia externa o al orden de las operaciones. Aunque nunca se puede vaticinar lo que puede ocurrir, es casi indiscutible que sobre la resolución de la ecuación de segundo grado, con coeficientes complejos (que incluye el caso en que sean todos reales) ya no se puede sacar nada realmente nuevo; sí, tal vez, desde el punto de vista didáctico, se pueden disponer las operaciones de una u otra manera, pero nada más.

Respondo a esta pregunta tan solo por si puede ser de interés para quienes enseñan a los alumnos de 13 años, de 2º de la E.S.O (antiguo octavo curso de E.G.B, o primaria), sobre todo si son alumnos "extraterrestres" que hacen preguntas no rutinarias...

Lo que hace el método de marras es esto:

Dado el sistema de ecuaciones:

x+y=p}

xy=q} se satisface a la primera ecuación haciendo x=(p/2)+d, y = (p/2)-d, y solo falta que se cumpla la segunda ecuación:

[ (p/2)+d ] [ (p/2)-d ] = q → (p²/4)-d²= q → es una ecuación cuadrática incompleta, incluso binomia, en la incógnita d. Despejando d:

d²= (p²/4)-q → d=√ [(p²/4)-q] (se toma un solo valor de la raíz cuadrada, otra cosa que debería explicarse, sencilla pero no completamente trivial).

Luego

x=(p/2)+√ [(p²/4)-q]

y=(p/2)-√ [(p²/4)-q]. Si hubiéramos tomado d=-√ [(p²/4)-q] obtendríamos los mismos valores de x,y pero intercambiados. Eso se debe a la simetría del sistema, que no varía al intercambiar x por y: [ x+y=y+x ….. xy=yx ].

Si se da la ecuación cuadrática completa, ax²+bx+c=0, se tienen dos soluciones,

x₁, x₂, tales que x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a. Y se aplica este método expuesto anteriormente para llegar a la fórmula clásica.

{Esto se deduce del hecho de que la ecuación cuyas raíces son x₁, x₂ es

(x-x₁)(x-x₂)=0, o bien:

x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂ =0 → ax²-a(x₁+x₂)x+ax₁x₂ =0, de donde, para que sea la misma ecuación dada, habrá de ser -a(x₁+x₂)=b, ax₁x₂=c → x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a}. De aquí se deduce la fórmula general, siguiendo el método del sistema de dos ecuaciones, que calcula dos números desconocidos sabiendo su suma y su producto.

x₁=-b/(2a) + d

x₂=-b/(2a) - d → b²/(4a²) - d² =c/a → d = [√(b²-4ac)]/(2a) →

x₁=[-b+√(b²-4ac)]/2a

x₂=[-b-√(b²-4ac)]/2a, que se agrupan en una sola fórmula doble:

x = [-b±√(b²-4ac)]/2a, la fórmula clásica.

DUDA que puede surgirle a un alumno interesado en la materia, pero principiante: ¿Y no puede haber dos ecuaciones cuadráticas con las mismas soluciones pero coeficientes respectivos no todos idénticos? Respuesta: No, salvo si son proporcionales, y no es difícil demostrarlo, pero debe hacerse; es decir, no ganamos mucha brevedad con esta forma de exponer la solución de las ecuaciones cuadráticas completas.

Ejemplo numérico:

x²-6x+8=0; sean las dos soluciones y, z: como 6/2=3, haremos

y=3+d, z=3-d → (3+d) (3-d)=8 → 9-d²=8 → d²=1 → d=+√1=+1.

Luego las dos raíces son 3+1 y 3–1, o sea, x=4 y x=2.

Véase otro método en otra de mis respuestas (hay otras respuestas de otros compañeros también):