¿Cómo haces ecuaciones cuadráticas simultáneas?

Esta pregunta es interesante, aunque dar una buena respuesta resulta muy laborioso.

Entiendo que las ecuaciones cuadráticas simultáneas se refieren a sistemas de ecuaciones cuadráticas.

Es un problema de álgebra clásica, que tiene notables aplicaciones a la geometría analítica; concretamente, sirve para encontrar los puntos de intersección de dos curvas cónicas dadas en un mismo plano (sean elipses, circunferencias, parábolas o hipérbolas).

Las cónicas son las curvas algebraicas de segundo grado, que son las curvas más sencillas, después de las líneas rectas, que son las "curvas" más sencillas de todas, puesto que son "curvas" de primer grado.

FIGURA 1: 4 puntos "reales" de corte de dos elipses.

FIGURA 2: 2 puntos "reales" de corte de dos parábolas.

(En la figura se ven dos puntos reales simples en la intersección de dos parábolas, hay otros casos con 4 puntos reales simples y también otros con puntos múltiples).

FIGURA 3: 4 puntos "reales" de corte de dos parábolas.

Expondré lo relativo a sistemas de dos ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas, que aparte de ser los más frecuentes en geometría analítica o en álgebra clásica, son prácticamente los únicos abordables con métodos relativamente elementales.

De hecho, un sistema de tres ecuaciones de segundo grado con tres incógnitas puede ser, en la mayoría de los casos, un problema muy difícilmente abordable, aunque resoluble, pero a menudo tan solo con métodos numéricos avanzados e intervención -prácticamente inexcusable- de software especializado en teoría general de la eliminación en ecuaciones algebraicas.

Algunos (pocos) casos de sistemas de tres ecuaciones, todas cuadráticas, y con tres incógnitas muy, muy rebuscados, con ecuaciones muy simétricas, pueden resolverse con métodos elementales empleando atajos y artificios de cálculo ad hoc, pero son muy excepcionales. Véase como ejemplo el problema 464 de Solving Problems in ALGEBRA and TRIGONOMETRY by Litvinenko & Mordkovich (Editorial MIR).

Así que encontrar los puntos de intersección de tres superficies cuádricas (paraboloides, elipsoides, hiperboloides…) en el espacio es un problema de geometría algebraica realmente intrincado. La ecuación resultante de las eliminaciones es, en el caso general, de octavo grado (puesto que el grado de la ecuación final, resultante de las eliminaciones, es -en general- el producto de los grados de cada ecuación, según el teorema de Bézout) y los valores absolutos de los coeficientes suelen ser espantosamente grandes, salvo que el problema esté preparado en la cocina didáctica para que sea tratable…

La ecuación cuadrática general con dos incógnitas es:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 , donde a, b, c, d, e, f son cualesquiera números complejos (esto incluye el caso más frecuente en que todos sean números reales), siendo distinto de cero al menos uno de los coeficientes de los términos cuadráticos a, b, c.

Cuando son a, b, c, d, e, f todos reales, el discriminante ∆ = b² - 4ac decide el género de la cónica, siempre que no sea degenerada:

1) Si ∆ < 0, la cónica es una elipse (se incluye a la circunferencia como caso muy particular de elipse).

2) Si ∆ = 0, la cónica es una parábola.

3) Si ∆ > 0, la cónica es una hipérbola.

Para hacerlo más llevadero, expondré ejemplos numéricos de los diversos casos-tipo de sistemas de dos ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.

El caso general -y más difícil- no se encuentra expuesto en los textos corrientes, por las complicaciones que encierra, y creo que merece la pena conocerlo; porque además de cerrar el capítulo de los sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas, provee de un método general y muy poco conocido para resolver algebraicamente la ecuación general de cuarto grado.

Recordemos que los sistemas con dos incógnitas, compuestos por una ecuación cuadrática y otra lineal se resuelven fácilmente despejando una de las incógnitas en la ecuación lineal y sustituyendo su valor en la cuadrática, como se enseña en los cursos de secundaria. En general, estos sistemas tienen dos soluciones, por ser cuadrática la ecuación resultante de la eliminación de una incógnita.

En cambio, los sistemas con las dos ecuaciones cuadráticas tienen, en general, 4 soluciones; aunque algunas de ellas (o todas) pueden ser iguales, y algunas o todas pueden ser imaginarias, aun siendo reales todos los coeficientes.

En los siguientes ejemplos, veremos cómo resolver el sistema de dos ecuaciones cuadráticas empleando solo ecuaciones cuadráticas, por ser los casos más sencillos. En el último ejemplo, se expone el caso general, mucho más complicado, cuando no se da o no se advierte ninguna particularidad simplificadora, tal como las de los casos anteriores.

Ejemplo 1: (Hay algún modo inmediato de deducir una ecuación lineal -o de primer grado-).

{ x² - 4xy + 4y² = 49 }

{ 2x² - 3xy - 5y² + 7x - 11y - 182 = 0 }

La primera ecuación tiene su primer miembro cuadrado perfecto, y así se reduce a

(x - 2y)² = 49 → x - 2y = ± 7.

Tomando en primer lugar x - 2y = 7 → x = 7 + 2y

Sustituimos en la segunda ecuación del sistema:

2 ( 7 + 2y)² - 3y ( 7 + 2y) - 5y² + 7 ( 7 + 2y) - 11y - 182 = 0 → Operando,

3y²- 38y + 35 = 0 → y = (38 ± 32)/6 →

y₁ = 35/3 ; y₂ = 1 → Sustituyendo en x = 7 + 2y →

x₁ = 91/3 ; x₂ = 9 .

Solo hay dos soluciones (reales) para (x, y) → (91/3, 35/3) , (9, 1).

Tomando ahora la otra posibilidad, x - 2y = - 7 → x = 2y - 7 y sustituyendo, obtendríamos en este caso otras dos soluciones imaginarias: (x₃ , y₃) , (x₄ , y₄) puesto que la ecuación cuadrática final en y tiene discriminante negativo:

3y² + 32y + 133 = 0 →

y₃ = (-16 + i * √ 143) / 3 ; y₄ = (-16 - i * √ 143) / 3

de donde

x = 2y - 7 → x₃ = ( - 53 + 2 i* √ 143) / 3 ; x₄ = ( - 53 - 2 i* √ 143) / 3

En la geometría analítica "real" estos puntos son invisibles en la gráfica, y solo los valores reales nos darán puntos de intersección "real".

En este caso, la primera ecuación del sistema dado

{ x² - 4xy + 4y² = 49 },

representa una cónica degenerada: no es propiamente una cónica, sino que representa gráficamente a dos rectas paralelas.

Por supuesto, es suerte que el primer miembro de una ecuación sea cuadrado perfecto; si no ocurre nada que simplifique el problema, tenemos que ir al método general, que exponemos en último lugar.

Ejemplo 2 : (No hay términos en x² ni en y² en ninguna de las ecuaciones del sistema, por lo cual se puede deducir de ellas -inmediatamente- una ecuación lineal -o de primer grado-).

{ 3xy - 5 x + 2y - 7 = 0 }

{ 4xy + 3x - y - 31 = 0 }

El único término cuadrático es xy, de modo que podemos igualar sus coeficientes por el método de reducción.

La primera ecuación multiplicada por - 4 y la segunda por 3 y sumadas dan:

- 4 (3xy - 5 x + 2y - 7) + 3 (4xy + 3x - y - 31) = 0 →

29 x - 11y - 65 = 0 → despejando una incógnita cualquiera →

y = (29x - 65)/11 → sustituyendo en una de las dos cuadráticas, por ejemplo, la primera:

3xy - 5 x + 2y - 7 = 0 → 3x (29x - 65)/11 - 5x + 2 (29x - 65)/11 - 7 = 0 → suprimiendo denominadores, para lo cual multiplicamos por 11 todos los términos:

3x (29x - 65) - 55 x + 2 (29x - 65) - 77 = 0 →

87 x² - 192 x - 207 = 0 → 29 x² - 64 x - 69 = 0 → x₁ = 3 ; x₂ = - 23/29 .

Como en la ecuación lineal era y = (29x - 65)/11 →

y₁ = (29x₁ - 65)/11 = (29 * 3 - 65 )/11 = 22/11 = 2

y₂ = (29x₂ - 65)/11 = [29 * (- 23)/29 - 65]/11 = - 8.

Hay pues solo dos soluciones (x, y) → (3, 2) , (-23/29, - 8).

Ejemplo 3 : (Una, al menos, de las ecuaciones es homogénea).

{ 5x² - 7xy - 6y² = 0 } (todos los términos son del mismo grado, en este caso concreto son cuadráticos, por eso el primer miembro es un polinomio homogéneo de segundo grado).

{ 3x² + xy - y² - 3x - 5y + 36 = 0 }.

Procedimiento general: dividir por y² o por x² en la ecuación homogénea, asegurándose antes de que esa incógnita no se anula (para no dividir por cero).

Supongamos y = 0 → 5x² = 0 → x = 0, de modo que (0,0) es solución de la primera ecuación del sistema (siempre es así en una ecuación homogénea, pues siempre admite la solución nula).

Pero sustituyendo x = y = 0 en la segunda, obtenemos la igualdad imposible 36 = 0 → de modo que no pueden anularse ni x ni y.

Ahora podemos dividir por y² ambos miembros de la ecuación homogénea, en la seguridad de que y nunca se anula:

5x²/y² - 7x/y - 6 = 0 ; cambio de variable t = x / y, t² = x² / y² →

5t² - 7t - 6 = 0 → t = 2 ; t = - 3/5.

PRIMER CASO: t = 2 → x / y = 2 → x = 2y.

Sustituyendo en { 3x² + xy - y² - 3x - 5y + 36 = 0 } →

13 y² - 11y + 36 = 0 → y₁ = (11 + i √1751)/26 ; y₂ = (11 - i √1751)/26 →

x₁ = 2y₁ = (11 + i √1751)/13 ; x₂ = 2y₂ = (11 - i √1751)/13

Luego obtenemos dos soluciones imaginarias para (x, y) →

((11 + i √1751)/13, (11 + i √1751)/26), ((11 - i √1751)/13, (11 - i √1751)/26)

SEGUNDO CASO: t = - 3/5 → x = - 3y/5 → sustituyendo en

{ 3x² + xy - y² - 3x - 5y + 36 = 0 } → 13 y² + 80 y - 900 = 0 →

y₁ = (- 40 + √ 13300)/13; y₂ = (- 40 - √ 13300)/13 →

x₁ = 2y₁ = (-80 + 2√ 13300)/13 ; x₂ = 2y₂ = (-80 - 2√ 13300)/13

De modo que hay otras dos soluciones reales para

(x, y) → ((-80 + 2√ 13300)/13, (-40 + √ 13300)/13),

(x, y) → ((-80 - 2√ 13300)/13, (-40 - √ 13300)/13),

habiendo en total 4 soluciones del sistema propuesto, dos reales y dos complejas conjugadas.

Ejemplo 4: (No hay términos lineales en ninguna ecuación).

{ 2x² - 3xy - 4y² = 5 }

{ 3x² + 5xy - 3y² = 39 }

En el plano, ambas ecuaciones representan sendas hipérbolas.

El artificio de cálculo en sistemas de esta clase, es eliminar los términos independientes, en contraste con lo más frecuente que es eliminar incógnitas.

Por tanto, multiplicamos la primera ecuación por 39 ,

la segunda por - 5, y sumamos ambas miembro a miembro:

63 x² - 142 xy - 141 y² = 0 .

Una ecuación homogénea, que era lo que se buscaba, de la cual obtenemos y/x. Antes veamos si puede ser x = 0, si hay alguna solución con este valor. Sustituyendo en el sistema dado x = 0 →

{ - 4y² = 5 }

{ - 3y² = 39 } Evidentemente no hay solución, pues cualquier valor de y que verifique la primera ecuación, hace y² = - 5/4, y a la vez

y² = -13, siendo - 5/4 ≠ - 13. Por tanto, x = 0 no es posible, y para buscar las posibles soluciones con x ≠ 0 podemos dividir por x² todos los términos de la ecuación homogénea:

63 - 142 (y/x) - 141 (y/x)² = 0 . Haciendo y/x = t, con y = tx, se tiene:

63 - 142 t - 141 t² = 0 → 141 t² + 142 t - 63 = 0 →

t₁ = ( - 142 + 236) / 282 = 1/3 ;

t₂ = ( - 142 - 236) / 282 = - 378 / 282 = - 63/ 47.

PRIMER CASO: Tomando t₁ = 1/3 → y/x = 1/3 → y = x/3.

Sustituyendo en una de las dos ecuaciones del sistema, por ejemplo,

{ 2x² - 3xy - 4y² = 5 } → 2x² - x² - 4x²/9 = 5 → 5x² = 45 → x = ±3.

Si x₁ = 3 ; y₁ = x₁ / 3 = 1 ; si x₂ = - 3 ; y₂ = x₂ / 3 = - 1.

Se obtienen así dos soluciones para (x, y) → (3,1) , (- 3, - 1).

SEGUNDO CASO: Tomando t₂ = - 63/ 47 → y/x = - 63/ 47 →

y = - 63x/ 47 , sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema dado, por ejemplo la primera { 2x² - 3xy - 4y² = 5 } :

2x² + 189x²/47 - 4*(- 63x/47)² = 5 → operando:

x = ± i √(2209/515) →

Si x₁ = i √(2209/515) ; y₁ = ( - 63/47) x₁ = ( - 63/47) i √(2209/515) ;

si x₂ = - i √(2209/515) ; y₂ = ( - 63/47) x₂ = ( 63/47)* i √(2209/515).

Hay por tanto otras dos soluciones imaginarias para (x, y) :

( i √(2209/515), ( - 63/47) i √(2209/515 ) ,

( - i √(2209/515), ( 63/47)* i √(2209/515. )

siendo cuatro soluciones en total, o sea, las dos hipérbolas representadas por las dos ecuaciones del sistema se cortan en solo dos puntos de coordenadas reales. Algo similar a lo que sucede en la figura 4, aunque con distintos valores numéricos:

FIGURA 4: 4 puntos "reales" de corte de dos hipérbolas: H1 azul, H2 rosa.

(Cada hipérbola tiene dos ramas).

Dejando de lado los casos restantes, más simples, tales como los sistemas del tipo

{ ax² + by² = c }

{ a'x² + b'y² = c' }, que se reducen evidentemente a un sistema lineal, mediante el cambio de variable x² = u ; y² = v, pasemos al caso general. Pero antes consideremos un tipo de sistemas reducibles al segundo grado, y relacionados con la solución general de tales sistemas.

Ejemplo 5: (Una de las incógnitas puede despejarse en función lineal de la otra).

Supongamos que debemos resolver el sistema:

{ 3x² - xy + y² - 6x - y - 6 = 0 } (Es una elipse)

{ x² + 3xy + 2y² - 3x - y - 10 = 0 } (Es una hipérbola)

FIGURA 5: Puntos de corte entre una elipse y una hipérbola.

(En esta figura hay cuatro puntos de corte "reales" y simples. En otros casos podrían ser solo 2 o también cero).

En la segunda ecuación tratamos de despejar una de las incógnitas, por ejemplo, y :

Ordenando respecto de y → 2y² + (3x - 1) y + (x² - 3x - 10) = 0.

La fórmula de resolución de las ecuaciones cuadráticas da:

y = { (- 3x + 1) ± √[ (3x - 1)² - 4 * 2 * (x² - 3x - 10) ] } / 4 →

y = { (- 3x + 1) ± √ (x² + 18 x + 81) } / 4 ;

pero (¡afortunadamente!) x² + 18 x + 81 es cuadrado perfecto →

así se puede cancelar el radical ; x² + 18 x + 81 = (x + 9)² →

y = { (- 3x + 1) ± (x + 9) } / 4 →

y* = (- 2x + 10) / 4 = (- x + 5)/2

y** = (- 4x - 8) / 4 = - x - 2.

PRIMER CASO:

Sustituimos y por y* = (- x + 5)/2 en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema dado, por ejemplo, la primera:

3x² - xy + y² - 6x - y - 6 = 0 →

3x² - x (- x + 5)/2 + (- x + 5)²/4 - 6x + (x - 5)/2 - 6 = 0

Una ecuación cuadrática en x que simplificada y resuelta da:

15x² - 42x - 9 = 0 →

x₁ = 3 ; x₂ = -1/5 ;

y₁ = (- x₁ + 5)/2 = 1 ; y₂ = (- x₂ + 5)/2 = (1/5 + 5) / 2 = 13/5.

Aparecen así las dos soluciones reales: (x, y) → (3, 1), (-1/5, 13/5).

SEGUNDO CASO: Sustituimos y por y** = - x - 2 en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema dado, por ejemplo, la primera:

3x² - xy + y² - 6x - y - 6 = 0 →

3x² - x (- x - 2) + (x + 2)² - 6x + x + 2 - 6 = 0 → 5x² + x = 0.

Como ecuación incompleta, a la que le falta el término independiente, se resuelve factorizando → x (5x + 1) = 0 → uno de los factores debe ser cero, luego hay dos soluciones x₁ = 0 ; x₂ = - 1/5.

Luego, de y** = - x - 2 , obtenemos

y₁ = - x₁ - 2 = - 2 ; y₂ = - x₂ - 2 = 1/5 - 2 = - 9/5 →

(x, y) → (0, -2) , (-1/5, - 9/5)

Son otras dos soluciones, que dan en total cuatro puntos de corte entre la elipse y la hipérbola propuestas.

Esto es, cuatro soluciones del sistema dado:

(x, y) → (3, 1), (-1/5, 13/5) , (0, -2) , (-1/5, - 9/5).

EL MÉTODO GENERAL.

Como se ve, el sistema de dos ecuaciones cuadráticas simultáneas con dos incógnitas es realmente, en la mayoría de los casos, un sistema de cuarto grado. Y si en este caso general, dadas las dos ecuaciones:

{ ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0 }

{ a'x² + b'xy + c'y² + d'x + e'y + f' = 0 } eliminamos una de las dos incógnitas por cualquiera de los métodos generales de eliminación, como por ejemplo, el método dialítico de Sylvester (que expresa la ecuación resultante como anulación de un determinante), o el método de Cayley (que emplea un determinante de orden menos elevado que el de Sylvester), obtendremos una ecuación final de cuarto grado en la otra incógnita.

La ecuación resultante para el caso relativamente simple de dos ecuaciones cuadráticas en x, y, puede también obtenerse rápidamente por cualquiera de los otros métodos propios de la teoría general de eliminación, y para tales ecuaciones como, por ejemplo,

{ a₀ x² + a₁(y) x + a₂(y) = 0 }

{ b₀ x² + b₁(y) x + b₂(y) = 0 } , la resultante es la ecuación de cuarto grado en y :

[a₀ b₂(y) - b₀ a₂(y)]² - [ a₀ b₁(y) - b₀ a₁(y) ] [a₁(y) b₂(y) - b₁(y) a₂(y)] = 0,

o análogamente, puede considerarse la resultante simétrica de ésta si se desea empezar por eliminar y, lo que daría como resultante del sistema una ecuación final de cuarto grado en x.

Este es un método posible y válido, pese a que fuerza a resolver una ecuación final de cuarto grado, lo cual complica bastante el cálculo.

El método de sustitución directa no es aconsejable, pues si se despeja una incógnita en una de las dos ecuaciones del sistema, salvo casos favorables muy especiales como el del ejemplo anterior, se obtendrá una expresión algebraica con un radical cuadrático sobre un trinomio cuadrático, lo que conduce a una ecuación irracional muy complicada, desde luego más aún que las resultantes de Sylvester o de Cayley.

La idea que resuelve elegantemente el problema con algo más de sencillez es poco conocida, aunque puede consultarse en el clásico Traité d'Algèbre (1851, primera edición) del matemático francés Joseph Bertrand.

La "suerte" que tuvimos en el último ejemplo, en el cual se pudo despejar una incógnita como función lineal de la otra (y = Mx + N) resulta que se puede "forzar" en cualquier situación, resolviendo antes una ecuación de tercer grado que es la resolvente del sistema.

Una ecuación cúbica es la clave para resolver los sistemas de ecuaciones cuadráticas en su caso más difícil, cuando no son reducibles al segundo grado.

En general, la condición para que un trinomio cuadrático en x sea cuadrado perfecto es que se anule su discrimianante:

Lema: Siendo a,b,c números complejos cualesquiera,

el trinomio ax² + bx + c es cuadrado perfecto de un binomio si y solo si

su discriminante es nulo, esto es, b² - 4ac = 0.

Demostración: Si ax² + bx + c = (mx +n)² → a = m² ; b = 2mn ; c = n² →

b² - 4ac = (2mn)² - 4 m²n² = 4 m²n² - 4 m²n² = 0, como se afirmaba.

Recíprocamente, si b² - 4ac = 0, si también es a = c = 0, entonces b = 0, y se cumple ax² + bx + c = (mx +n)² con m = n = 0 ; si al menos uno de los dos, a ó c, no se anulan, por ejemplo, sea a ≠ 0, tomemos m = √a (sirve uno solo de los valores de esa raíz cuadrada), n = b / 2m , y

como b² - 4ac = 0 → c = b² / (4a) = b² / (4m²) = n² ; así pues,

(mx + n)² = m² x² + 2mn x + n² = ax² + bx + c, y el trinomio ax² + bx + c es cuadrado perfecto, como queríamos demostrar.

Por último, si c ≠ 0, con a = 0, por ser b² - 4ac = 0 → b = 0.

El trinomio se reduce al número c = (0x + √c)² (eligiendo cualquier valor de la raíz cuadrada de c) y también el "trinomio" 0x² + 0x + c es cuadrado perfecto. Queda así probado el lema.

Condición para que en una ecuación cuadrática en x, y pueda despejarse una incógnita en función lineal de la otra.

Dada la ecuación Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Supongamos C ≠ 0, o bien A ≠ 0 (si ambos, A y C, fueran nulos, veremos más adelante que podríamos resolver cualquier sistema con esta ecuación y cualquier otra, como uno de los casos elementales ya analizados).

Ordenando, por ejemplo, con respecto a y (suponiendo C ≠ 0) :

Cy² + (Bx + E) y + (Ax² + Dx + F) = 0 .

Despejando y mediante la fórmula cuadrática:

y = [ (-Bx - E) ± √(Bx + E)² - 4C (Ax² + Dx + F) ] / (2C).

El radicando es un trinomio cuadrático en y ; operando vemos que es:

(B² - 4AC) x² + 2 (BE - 2CD) x + (E² - 4CF).

La expresión anterior de y en función de x será lineal, evidentemente, si y solo si, el trinomio subradical es cuadrado perfecto de un binomio, tal como Mx + N, con M, N números cualesquiera.

Pero sabemos, por el lema, que la condición necesaria y suficiente para que ese trinomio sea cuadrado perfecto es:

[2 (BE - 2CD)]² - 4 (B² - 4AC) (E² - 4CF) = 0 , o dividiendo por 4:

(BE - 2CD)² - (B² - 4AC) (E² - 4CF) = 0

Desarrollando y simplificando:

B²E² - 4 BCDE + 4 C²D² - B²E² + 4 B²CF + 4 ACE² - 16 AC²F = 0 →

BDE - CD² - B²F - AE² + 4 ACF = 0 (&)

Si fuera C = 0, con A ≠ 0, obtendríamos exactamente la misma condición (&) para poder despejar x en función lineal de y en la ecuación dada Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Es decir, sería x = [(-By - D) ± √(By + D)² - 4A (Cy² + Ex + F) ] / (2A)

y el trinomio subradical sería cuadrado perfecto si y solo si se verifica

la misma condición (&), en cuyo caso x sería despejable como función lineal de y, del tipo x = My + N.

Ejemplo: Sea la ecuación 3x² + xy - 2y² - 2x + 3y - 1 = 0.

Será A = 3 // B = 1 // C = -2 // D = - 2 // E = 3 // F = - 1 //

BDE - CD² - B²F - AE² + 4 ACF =

= 1*(-2)*3 - (-2)*(-2)² - 1²*(-1) - 3*3² + 4*3*(-2)*(-1)= -6 + 8 + 1 - 27 + 24 = 0.

Luego, en efecto, puede despejarse y en función de x, o viceversa, ya que los coeficientes de x² y de y² son no nulos.

Así, para despejar x, ordenamos: 3x² + (y-2) x + (-2y² + 3y - 1) = 0

Aplicamos la fórmula cuadrática:

x = [ -y + 2 ± √(y - 2)² - 4 * 3 (-2y² + 3y - 1) ]/6 =

= [ -y + 2 ± √(25y² - 40 y + 16) ] / 6 = [ -y + 2 ± √(5y - 4)² ] / 6 =

= [ -y + 2 ± (5y - 4) ] / 6 →

x₁ = [ -y + 2 + (5y - 4) ] / 6 = (2/3) y - 1/3.

x₂ = [ -y + 2 - (5y - 4) ] / 6 = - y + 1.

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA CUADRÁTICO GENERAL

Dado un sistema general,

{ Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 }

{ A' x² + B' xy + C' y² + D' x + E' y + F' = 0 }

1) Supongamos que todos los coeficientes de los cuadrados son nulos → A = A' = C = C' = 0. Entonces el sistema se puede resolver tan solo mediante ecuaciones de segundo grado, como vimos en el ejemplo 2).

2) Supongamos que al menos un coeficiente del cuadrado de una incógnita es no nulo, por ejemplo, A ≠ 0.

Si en alguna de las dos ecuaciones se verifica la condición necesaria y suficiente para poder despejar una incógnita como función lineal de la otra, el sistema se reduce a dos ecuaciones de segundo grado, como ya vimos.

Sin embargo, en el caso más desfavorable, no se cumplirá esta condición, pero siguiendo el ingenioso método de Bertrand (1822 - 1900), la podemos forzar, del siguiente modo:

Siendo λ una indeterminada, que después calcularemos, consideremos una ecuación deducida del sistema dado sumando una de las ecuaciones con todos sus términos multiplicados por λ, con la otra ecuación; desde luego, cualquier solución del sistema será solución de esa combinación lineal:

λ(Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F) + A'x² + B'xy + C'y² + D'x + E'y + F' = 0.

(λA + A') x² + (λB + B') xy + (λC + C') y² + (λD + D') x + (λE + E') y +

+ (λF + F') = 0 (*)

Ahora tratamos de determinar λ para que esta ecuación verifique la condición necesaria y suficiente para poder despejar en ella linealmente una incógnita en función de la otra: véase la condición (&)

BDE - CD² - B²F - AE² + 4 ACF = 0 (&)

En el caso de la ecuación (*) solo hay que sustituir A por λA + A',

B por λB + B', C por λC + C' … etc.

Luego la ecuación combinada (*) permitirá despejar linealmente y en función de x (reduciendo el sistema cuadrático a dos ecuaciones de segundo grado o cuadráticas) si y solo si la nueva incógnita λ verifica la ecuación de tercer grado:

( λB + B')( λD + D')( λE + E') - ( λC + C')( λD + D')² - ( λB + B')²( λF + F') -

- ( λA + A')( λE + E')² + 4 ( λA + A')( λC + C')( λF + F') = 0 (**).

(RESOLVENTE CÚBICA DEL SISTEMA DE ECUACIONES CUADRÁTICAS)

De este modo se puede resolver cualquier sistema de dos ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas, en el caso más dífícil, cuando no sirven los artificios de simplificación anteriormente expuestos.

NOTA INTERESANTE: Cuando la ecuación resolvente (**) tiene una raíz racional o expresable racionalmente en función de los coeficientes A, B, C, D, E, F, A', B', C', D', E', F', mientras estos coeficientes sean números racionales o bien irracionales cuadráticos, podrán determinarse gráficamente con solo regla y compás los puntos de corte de las dos curvas cónicas de manera exacta; y no será posible determinarlos exactamente con solo regla y compás cuando ninguna de las raíces de la ecuación cúbica resolvente sea racionalmente expresable en función de dichos coeficientes racionales o irracionales cuadráticos; como sucederá cuando en la solución de la cúbica resolvente aparezcan radicales cúbicos en forma esencial, lo que puede comprobarse al resolver algebraicamente la ecuación de tercer grado mediante la fórmula de Cardano.

LA RESOLUCIÓN ALGEBRAICA DE LA ECUACIÓN CUÁRTICA

Siguiendo el método de Bertrand, dada la ecuación de cuarto grado:

x⁴ + px³ + qx² + rx + s = 0, donde p, q, r, s son cualesquiera números reales o complejos, si hacemos x² = y y sustituimos ese valor en la ecuación cuártica, tendremos la equivalencia entre la ecuación general de cuarto grado y el sistema de ecuaciones cuadráticas:

{ y² + pxy + rx + qy + s = 0 }

{x² - y = 0 } (esta cónica es una parábola)

Este sistema, y por tanto, la ecuación general de cuarto grado podrá resolverse algebraicamente resolviendo antes la ecuación cúbica resolvente correspondiente a

( λB + B')( λD + D')( λE + E') - ( λC + C')( λD + D')² - ( λB + B')²( λF + F') -

- ( λA + A')( λE + E')² + 4 ( λA + A')( λC + C')( λF + F') = 0, donde basta tan solo sustituir los coeficientes de acuerdo al sistema anterior:

A = 1 // B = p // C = 0 // D = q // E = r // F = s

A' = 0 // B' = 0 // C' = 1 // D' = - 1 // E' = 0 // F' = 0

λp (qλ - 1) rλ - (qλ - 1)² - (λp)²λs - λ (rλ)² + 4λ*λs = 0 →

(pqr - p²s - r²) λ³ + (-pr - q² + 4s) λ² + 2q λ - 1 = 0

(RESOLVENTE DE LA ECUACIÓN CUÁRTICA)

Así se desdobla la ecuación general de cuarto grado en dos ecuaciones cuadráticas, fácilmente resolubles, una vez resuelta la ecuación cúbica resolvente, análogamente a como la resuelven los métodos más conocidos de Ferrari, Descartes, Euler, Lagrange o Tschirnhaus.

Como consecuencia notable, la resolución de una ecuación de cuarto grado es equivalente al problema de hallar las coordenadas de los puntos de intersección (reales o imaginarios) de dos cónicas determinadas.

Por tanto, las ecuaciones cuadráticas simultáneas, tema que constituye el objeto de esta pregunta, están en conexión profunda con montones de hechos matemáticos importantes, así como también ponen de manifiesto sorprendentes relaciones entre el álgebra y la geometría analítica, a través de las fascinantes propiedades de las curvas cónicas.