¿Se puede deducir de las ecuaciones de Maxwell que la velocidad de la luz es independiente del observador?

A2A*. No, es así, exactamente. Pasa algo raro con las ecuaciones de Maxwell si tomas las ecuaciones de Maxwell en el vacío, puedes deducir que existe un modo de propagación del campo en forma de ondas auto-sostenidas en el vacío, la luz es un tipo de ondas de ese tipo. Para demostrar eso sólo necesito partir de dos de esas ecuaciones:

∇×E=−∂B∂t,∇×B=μ0ϵ0∂E∂t∇×E=−∂B∂t,∇×B=μ0ϵ0∂E∂t

Si tomo el rotacional de la primera ecuación obtengo:

∇×∇×E=−∂∂t(∇×B)∇×∇×E=−∂∂t(∇×B)

Usando la segunda ecuación y la identidades vectoriales asociadas al operador ∇∇ obtengo:

∇(∇⋅E)−(∇⋅∇)E=−μ0ϵ0∂2E∂t2∇(∇⋅E)−(∇⋅∇)E=−μ0ϵ0∂2E∂t2

usando que ∇⋅E=0∇⋅E=0 en el vacío, y reescribiendo Δ=∇⋅∇=∇2Δ=∇⋅∇=∇2 tengo que el campo eléctrico en el vacío se propaga de acuerdo con la ecuación de una onda que se mueve a la velocidad c=1/μ0ϵ0−−−−√c=1/μ0ϵ0 es decir:

ΔE=1c2∂2E∂t2,(∗)ΔE=1c2∂2E∂t2,(∗)

Lo interesante empieza ahora. Resulta que la ecuación anterior no es invariante bajo una transformación de Galileo, por lo que la ecuación anterior si se cumple en un sistema de referencia no se debería cumplir en ningún otro. Por eso los físicos inicialmente pensaron que existía un sistema de referencia especial respecto al cual el éter estaría inmóvil y, por tanto, respecto al cual la velocidad de las ondas electromagnéticas era fija e igual a cc. Pero cuando los experimentos descartaron esa posibilidad la situación no se comprendía. Entonces algunos físicos como Lorentz, Fitzgerald o Poincaré se hicieron esta ¿qué tal si realmente la ecuación (∗)(∗) es universal y lo que está pasando es la que transformación de Galileo es lo que no es correcto? Esta pregunta en el fondo equivalía a plantearse que el tiempo y el espacio fueran relativos y dependieran del observador. Lorentz o Fitzgerald no se atrevieron a ser tan explícitos, pero Einstein sí. Y Einstein eligió escoger la aparente constancia de la luz, tanto en la ecuación (∗)(∗) como en los experimentos como reflejo de otra cosa. Así fue con Einstein logró darle sentido y consistencia a las observaciones anteriores y las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell haciendo una hipótesis exótica sobre la naturaleza del espacio y del tiempo (que experimentalmente resultó ser además correcta!)