¿Cómo puedo calcular el área de un hexágono de lado 3 cm? ¿Cuál es el resultado final?

(Voy a aprender a dibujar en Latex, voy a aprender a dibujar en Latex, voy a aprender a dibujar en Latex…)

Quizás si lo sigo repitiendo, algún día se hará cierto.

Lo primero es notar que un hexágono se puede dividir en 6 triángulos que apuntan hacia el centro; esto se logra conectando cada punto del hexágono con su opuesto con una línea.

Ahora, estos seis triángulos son congruentes por simetría, así que si AA es el área de uno de ellos, 6A6A es el área que buscamos; hemos reducido un problema de hexágonos a uno de triángulos. Eso es bueno.

Además, la suma de los ángulos interiores (i.e. los seis ángulos que apuntan hacia el centro del hexágono y que son iguales por los triángulos ser congruentes) tiene que ser 360360 grados, por lo que el ángulo interior de un solo triángulo es 360/6=60360/6=60 grados.

Bien, tenemos un triángulo con base de 33 cm y ángulo opuesto a esa base de 6060 grados. Para encontrar la altura hh de este triángulo (la necesitamos si queremos saber su área), tiramos una línea recta desde ese ángulo hasta la base, lo que nos deja con dos tríangulos rectángulos de ángulos de 3030 grados y bases de 3/23/2 cm al opuesto.

Ahora usamos la relación trigonométrica conocida como la tangente:

tan30=(3/2)/h⇒h=(3/2)/tan⁡30=(3/2)/h⇒h=(3/2)/tan30=(3/2)3–√tan⁡30=(3/2)3 cm.

El área del triángulo es A=A=(1/2)(3)h=(9/4)3–√(1/2)(3)h=(9/4)3 cm^2.

Por lo tanto, el área del hexágono es 6A=(27/2)3–√6A=(27/2)3 cm^2.