¿Por qué llamamos a las "razones" así en matemáticas y por qué también las llamamos así al "seno", "coseno", "tangente", "cotangente", "secante" y...

Los nombres de las razones trigonométricas tienen su razón, que es geométrica, como lo es el origen histórico de sus definiciones.

En los viejos tratados de trigonometría del siglo XIX y anteriores, todavía se llamaban a menudo "líneas trigonométricas"; el término "razones trigonométricas", que es más preciso, se impuso después.

Por cierto, la trigonometría clásica (el estudio de las relaciones cuantitativas entre los lados y los ángulos de los triángulos) es una de esas pocas materias que han quedado "congeladas" en el tiempo (hablando en general, por supuesto, aunque claro que puede haber algún problema muy concreto y excepcional planteado en la actualidad y que pueda considerarse como un problema abierto), y por eso, en lo fundamental, es una teoría cerrada; lo que conlleva que se puedan consultar los libros de trigonometría del siglo XIX, por ejemplo, sin hallarlos obsoletos, en su mayor parte; tal vez solo podría saltarse el lector actual de esos viejos tratados la parte relativa al cálculo numérico con las tablas trigonométricas o logarítmico-trigonométricas, puesto que las calculadoras actuales -y no digamos los ordenadores- han dejado a las tablas como una simple curiosidad histórica; aunque no es completamente inútil saber manejar esas tablas, para ponerse en el lugar de los antiguos navegantes, ingenieros, físicos, químicos, astrónomos, ópticos, topógrafos, agrimensores, cartógrafos… y por supuesto, matemáticos.

Solo los esfuerzos que se desplegaban con el fin de transformar fórmulas no logarítmicas (las que contienen sumas y restas de expresiones complicadas) en fórmulas logarítmicas (con productos, cocientes, potencias y raíces) para optimizar el uso de las tablas logarítmico-trigonométricas, ya son de gran valor formativo en cálculo algebraico y trigonométrico y se pueden emplear en la resolución de muchos problemas teóricos y prácticos, no solo de trigonometría propiamente dicha, sino de aplicaciones de la trigonometría al cálculo integral, a la resolución numérica de ecuaciones, a la Combinatoria, a la Teoría de números, etc.

Y por si acaso estamos en una isla desierta, donde no tenemos "cobertura" ni electricidad, o si en una gran ciudad hay un apagón y nos quedamos sin pilas…podríamos aprender a manejar las tablas logarítmicas y trigonométricas.

Este último párrafo -en cursiva- es una crítica cómica a los argumentos que algunas veces se oyen en boca de los nostálgicos profesores analógicos, educados en la Era PRE-Maquinitas…

En una isla desierta, reconozcámoslo, sería muy mala suerte que no tengamos ningún aparato electrónico después de un naufragio, por ejemplo, y sí dispongamos de tablas trigonométricas, folios, bolígrafos…Además el problema principal sería comer y encontrar agua y refugio contra el mal tiempo, no calcular el ángulo que forman la mediana y la bisectriz que parten de un mismo vértice en un triángulo dado…Peor todavía sería afrontar la reconstrucción del mundo como supervivientes de una guerra nuclear: en ese caso quizá las tablas serían muy útiles, si dispusiéramos de algunas… pero confiemos en que no haga falta "empezar de nuevo".

Las definiciones de seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, para un ángulo del interior del primer cuadrante (o< ω<90º) se pueden visualizar en el siguiente gráfico, extraído del Nouveau traité de géométrie et de trigonométrie rectiligne et sphérique, de Baillargé (Québec, 1866)

Por definición, se llama seno del ángulo AOB a la longitud del segmento BD (como es costumbre, se toma el radio por unidad OA=1,

y el círculo unitario que sirve para definir las funciones trigonométricas se llama CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO).

Pero se ve que BD es una semicuerda, y que si se prolonga hasta encontrar al semicírculo inferior, sería una cuerda completa.

A continuación, cito literalmente la excelente explicación de la etimología de la palabra seno (que proviene de sinus, en latín) y porqué se adoptó esa palabra para designar esa razón trigonométrica, tal como aparece en WIKIPEDIA (los datos coinciden, en su mayoría -y sospechosamente-, con los de

la Enciclopedia Británica, de modo que se pueden cotejar con esta excelente enciclopedia ¡de papel! para mayor tranquilidad del lector):

( Historia de la trigonometría - Wikipedia, la enciclopedia libre )

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La palabra "seno" deriva del término en latín, sinus, de una mala traducción (vía el árabe, de la palabra en sánscrito, jiva o jya).

Aryabhata [el principal matemático y astrónomo hindú de la época clásica, entre los siglos V y VI de nuestra era] utilizó el término ardha-jiva ("media- cuerda"), que fue acortado a jiva y, luego, transliterado por los árabes como jiba (جب). Traductores europeos como Roberto de Chester y Gerardo de Cremona en el siglo XII toledano confundieron jiba por jaib (جب), probablemente debido a que jiba (جب) y jaib (جب) se escriben igual en la escritura árabe (este sistema de escritura utiliza acentos en lugar de vocales y, en algunos formatos, los acentos no son escritos para facilitar la escritura, por lo que si los lectores no están familiarizados con el idioma pueden confundir palabras con las mismas letras, pero con diferente fonética). Las palabras "minuto" y "segundo" provienen de las frases latinas partes minutae primae y partes minutae secundae, que pueden ser burdamente traducidas como "primeras pequeñas partes" y "segundas pequeñas partes".

[FIN DE LA CITA]

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​ La palabra sinus, empleada en su sentido trigonométrico, aparece publicada por vez primera por Gherardo of Cremona ( 1114–87), que tradujo al latín muchos textos griegos, incluido el gran Almagesto de Ptolomeo.

Se popularizó así en Europa la palabra sinus, o sine (en inglés), y seno en lengua española, para referirse al "seno" de un ángulo, y el símbolo sin como abreviatura del seno lo publica por primera vez (según los documentos actuales), el matemático inglés de finales del siglo XVI y principios del XVII, Edmund Gunter, en 1624.

La definición de la tangente (véase el gráfico anterior) es:

tan AOB = AE; y se ve que es la longitud de un segmento de la tangente geométrica, es decir, de la recta tangente al círculo en A; concretamente, el segmento cuyos extremos son A y E, es decir, el punto (1,0) y el punto en que concurren la prolongación del lado OB del ángulo OAB y la recta tangente AT.

Por ser AE un segmento tangente al círculo, se denominó tangente (trigonométrica) a la razón AE/OA=AE (puesto que OA=1). He aquí la explicación del origen -geométrico- de ese nombre asignado en trigonometría: "tangente".

La definición de la secante trigonométrica (véase el gráfico anterior) es:

sec AOB = OE ; es decir, la secante del ángulo AOB (o del arco AB equivalente al ángulo, cuando éste se mide en radianes) es, por definición, la medida del segmento de recta comprendido entre el origen y el punto de encuentro entre la recta tangente AT y la prolongación del lado OB del ángulo dado. Y por ser la prolongación del lado OB una recta secante al círculo, se eligió el nombre de secante (trigonométrica) para la razón OE/OA=OE.

A partir de aquí se generalizan fácilmente estas definiciones a los ángulos de cualquier cuadrante (abierto, es decir, sin considerar los valores extremos 0º, 90º, 180º, 270º), mediante un gráfico completamente similar al dado aquí para el primer cuadrante, y se definen como es conocido los valores de las razones trigonométricas en los múltiplos de un cuadrante (90º ), es decir,

0º, 90º, 180º, 270º, siendo de valor infinito las tangentes de 90º y 270º ; es decir, no se define su valor numérico, puesto que las rectas que debieran cortarse son paralelas y solo se "cortan" en el infinito, así como análogamente son infinitas las secantes de 90º y 270º y no se define su valor numérico, por la misma razón.

Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma es 90º (y esta definición sirve para ángulos cualesquiera, positivos, negativos o nulos).

Pues bien, se pueden definir el co-seno, la co-tangente y la co-secante de un ángulo dado como el seno, la tangente y la secante, respectivamente, de su ángulo complementario; de ahí el nombre de coseno, cotangente y cosecante.

La cotangente y la cosecante toman valores infinitos, o bien, numéricamente no están definidas, cuando el ángulo ω = 0º ó 180º.

Se definieron también, para todo ángulo ω, cuatro funciones trigonométricas más, que derivan de las fundamentales, y cuya denominación está en absoluto desuso hoy día: seno verso de ω , coseno verso de ω, subverso de ω y subcoverso de ω, que son iguales, repectivamente, a

1-cos ω, 1-sen ω, 1+cos ω, 1+sen ω.

Diversas razones hicieron más frecuente el uso del coseno que el de su recíproca, la secante ; igualmente, se emplea mucho más a menudo la tangente que la cotangente, aunque a veces también se utiliza ésta última, para facilitar la escritura de algunas fórmulas, y la cosecante tal vez sea la menos usada de todas, en favor de su recíproca, el seno ; de modo que las razones trigonométricas fundamentales, más frecuentemente utilizadas actualmente, son seno, coseno y tangente.

Todas las razones trigonométricas reciben, por tanto, nombres basados en su origen geométrico, salvo el seno, que debiera llamarse algo así como semicuerda y que por un error de traducción del árabe al latín acabó llamándose sinus, (o seno, en castellano) como hemos explicado al principio.