¿Por qué el programa Langlands se puede considerar como una gran teoría unificada de las matemáticas?

A2A*. El programa de Langlands data de los años 1970, aunque yo sólo supe de él recientemente en 2014, por un libro divulgativo de matemáticas del matemático ruso-estadounidense Edward Frenkel. El libro en cuestión tiene un nombre muy poco usual en algo tan presumiblemente árido como las matemáticas Love and Math: The Heart of Hidden Reality.

Edward Frenkel (Э́двард Фре́нкель)

De hecho, la afirmación de que el programa de Langlands podría considerarse una gran teoría unificada de las matemáticas procede del propio Frenkel, quien popularizó la idea y esa manera de ver el programa de Langlands, así que tras haber leído el libro de Frenkel me siento un poco más capaz de explicar su idea.

Primero diré áridamente lo que cualquier matemático que no conozca mucho ese programa de investigación diría y luego explicaré la idea más romántica de Frenkel en sus propios términos.

• Técnicamente y, simplificando mucho, en matemáticas se llama programa de Langlands a un programa de investigación desarrollado a partir de una serie de conjeturas que relacionan resultados en la teoría de números con resultados geométricos usando estructuras como los cuerpos algebraicos locales y las extensiones algebraicas de dichos cuerpos. A cualquier aficionado que le suena la teoría de Galois sobre grupos algebraicos, le podría decir que es un trabajo que empieza en una línea parecida a eso pero que luego, naturalmente, llega a niveles muchísimo más abstractos [a quien le interese puede tratar de leer este documento que explica el núcleo del asunto http://math.stanford.edu/~conrad/JLseminar/refs/Knappintro.pdf, es durillo yo habré leído sólo un 25% antes de rendirme y me pareció una lectura muy exigente].
• Ahora vamos con la idea romántica de Frenkel. Su idea es que imaginemos el mundo matemático como un planeta formado por varios continentes diferentes, aparentemente no conectados entre sí. Uno de esos continentes podría ser Aritmética (donde encontramos los vastos de la teoría de números y otras cosas), otro continente podría ser Geométrica (donde encontramos paisajes algebraicos y geométricos). El programa de Langlands es algo que nos promete que si cartografiamos bien una parte de Geométrica resulta que automáticamente obtenemos una cartografía de parte de Aritmética. De alguna manera con el programa de Langlands tenemos una manera de ver que dichos continentes no son independientes sino que están relacionados. Eso permite resolver problemas aritméticos muy difíciles reconvirtiéndolos en problemas algebraico-geométricos y viceversa. A los que conozcan la topología algebraica o la teoría de Galois la idea les sonará razonable, aunque el programa de Langlands es algo mucho más complejo, ambicioso y abstracto, pero por ahí va la idea.