GEOMETRIA II

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MATEMÁTICA 
IVº Año Medio 
2018 
Taller 2 Módulo 2 
Geometría II° medio 
 
 IV° Año Medio 
 
Objetivos a evaluar: 
 
 
 AE 04: Comprender el teorema de Thales sobre trazos proporcionales y 
aplicarlo en el análisis y la demostración de teoremas relativos a trazos. 
 
 AE 05: Demostrar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de 
trazos. 
 
 AE 06: Demostrar el teorema de Pitágoras y el teorema recíproco de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
Tiempo estimado: 90 minutos 
 
Inicio 
 
Durante el transcurso de enseñanza básica y media, se han conocido y trabajado 
distintos teoremas en Geometría. 
 
1. Nombra algunos teoremas que recuerdes y comenta donde los has aplicado. 
 
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2. ¿Qué relación existe entre el teorema de Pitágoras y Euclides? Explica. 
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 2 
Desarrollo 
 
 
Teorema de Pitágoras 
 
 
El teorema de Pitágoras establece que: 
 
“El cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²)” 
 
 
 
 
 
 
El Teorema de Pitágoras además de utilizarse para determinar la medida de un cateto 
o hipotenusa, se puede usar para verificar que un triángulo es rectángulo. Es decir, 
que si se demuestra que los tres lados de un triángulo dado hacen verdadera la 
ecuación (cateto1)2+(cateto2)2=(hipotenusa)2, entonces se concluye que dicho 
triángulo es un triángulo rectángulo. Esto se conoce como el Recíproco del Teorema 
de Pitágoras. 
 
 
Actividad 1: Resuelve aplicando teorema de Pitágoras. 
 
1. Un cateto de un triángulo rectángulo es 4 pies más corto que la longitud de la 
hipotenusa. El otro cateto mide 12 pies. Encontrar las longitudes de los tres 
lados del triángulo. 
 
 
 
 
 
 
2. Un cateto de un triángulo rectángulo es 3 unidades más largo que el doble de 
la longitud del otro cateto. La hipotenusa es 3 veces más larga que el menor de 
los catetos. Encuentra las longitudes de los tres lados del triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
3. En lugar de caminar a lo largo de los dos lados de un campo rectangular, Mario 
decidió acortar camino a través de la diagonal de dicho terreno. La distancia 
que se ahorra, al utilizar este atajo, es igual a la mitad de la longitud del lado 
mayor del campo. Encontrar la longitud del lado mayor del campo si se sabe 
que el lado menor tiene una longitud de 40 metros. 
 
 
 
 
 
 
4. Marcos navega hacia el norte, mientras que Sandra navega hacia el este. 
Ambos inician desde el mismo punto de partida. Luego de 2 horas, el bote de 
Marcos se encuentra a 35 millas del punto de partida, mientras que el bote de 
Sandra se encuentra a 28 millas de dicho punto. ¿Cuán lejos están los botes 
entre sí. Es decir, ¿Cuál es la distancia que los separa? 
 
 
 
 
 
 
5. Determinar el área del círculo mostrado en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
Actividad 2: Resuelve los siguientes problemas PSU 
 
 
1. En el triángulo ABC de la figura adjunta, rectángulo en A. la medida del lado AB 
es: 
 
A. ±2 
B. -√2 
C. 1 
D. √2 
E. 2 
 
2. En el triángulo rectángulo de la figura adjunta. La medida de BC es: 
 
A. 7 
B. 8 
C. 11 
D. 12 
E. √194 
 
 
3. En un rectángulo de 15 cm de ancho y 20 cm de largo, ¿cuánto mide la 
diagonal? 
 
A. 300 cm. 
B. 150 cm. 
C. 30 cm. 
D. 25 cm. 
E. 15 cm 
 
 
4. Para formar con una cuerda la letra Z de la figura, ¿cuántos metros de cuerda 
se necesitan? 
 
A. 40 m 
B. 50 m 20 cm 
C. 55 m 
D. 60 m 
E. 65 m 15 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Teorema de Euclides 
 
El teorema de Euclides establece que En todo triángulo rectángulo, si se traza la 
altura correspondiente al vértice del ángulo recto, los dos nuevos triángulos 
rectángulos son semejantes entre sí, y a la vez son semejantes al original. A partir 
de lo anterior, se establecen las siguientes teoremas: 
A. Teorema de Euclides referido a la altura: 
En todo triángulo rectángulo, la altura (que se traza desde el ángulo recto), es media 
proporcional geométrica (es decir, la altura al cuadrado), entre los segmentos que 
determina sobre la hipotenusa. 
B. Teorema de Euclides referido al cateto: 
En todo triángulo rectángulo, cada cateto es medida proporcional geométrica (es 
decir, cada cateto al cuadrado) entre la hipotenusa entera y su proyección sobre ella. 
En resumen tenemos: 
 
 
 
 
 
Actividad 3: 
 
1. El  ABC de la figura es rectángulo en C, entonces CD = 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. En el  rectángulo de la figura, CD altura. Si CD = 6 y DB = 12, entonces AC = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 40 D 10 B 
C 
 A D B 
C 
 6 
 
 
3. En el  ABC de la figura, rectángulo en C, se tiene p = 3cm y q = 4cm. En tal 
caso, el valor de a2 + b2 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. En el  ABC, rectángulo en C, CD altura. Si BC = 5cm y DB = 4cm, entonces 
AC = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. El  ABC es rectángulo en C, con a = 30cm y b = 40cm, siendo CD altura y 
CM transversal de gravedad. En tal caso, MD = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A q D p B 
C 
 a b 
 A q D p B 
C 
 a b 
 hc 
 A q M D p B 
C 
 a b 
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Actividad 4: 
 
 
1. En el triángulo rectángulo ABC de la figura, rectángulo en C, 
BC = a y CA= b = 2a. Si CD =h, es la altura relativa a la hipotenusa, entonces 
CD = 
 
A. 1 / 2√5 a 
B. √5 /5 a 
C. √5 / 2 a 
D. 5√5/ 2 a 
E. 2√5/ a 
 
 
2. Un cierto triángulo rectángulo ABC, rectángulo en C, la hipotenusa mide 15 cm 
y su altura correspondiente mide 6 cm. la longitud del cateto mayor es de: 
 
A. 6√5 
B. 5√5 
C. 4√5 
D. 3√5 
E. 2√5 
 
3. En la figura adjunta, los catetos del triángulo rectángulo ABC, rectángulo en C, 
miden a=3 cm y b= 4cm. La en razón en que están los segmentos p y q, 
proyecciones de a y b respectivamente sobre la hipotenusa es: 
 
 
 
A. √3 / 2 
B. 3/4 
C. 9/16 
D. 81/256 
E. 4/3 
 
 
 
4. ¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo? 
 
(1) La altura correspondiente a la hipotenusa divide a esta en segmentos cuyas 
longitudes son 6 y 21 cm. 
 
(2) La hipotenusa mide 27 cm. 
 
 
A. (1) por si sola 
B. (2) por si sola 
C. Ambas juntas (1) y (2) 
D. Cada una por si sola ( 1) o ( 2) 
E. Se requiere información adicional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
Teorema de Thales 
 
 
En relación al teorema de Thales, relacionado a la proporcionalidad encontramos lo 
siguiente: 
 
1. Teorema Particular de Thales: 
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen 
dos triángulos semejantes. 
 
 
 
2. Teorema General de Thales 
Dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas (AB, CD, EF) los 
segmentos determinados en una de las rectas (AC, CE) son proporcionales a los 
segmentos correspondientes en la otra (BD, DF). 
 
Además podemos encontrar el teorema anterior de la forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Actividad 5: Resuelve los siguientes problemas aplicando el teorema de Thales 
 
1. En la figura AE // CB. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm, AC = 6 cm. 
y ED = 18 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Roberto mide 1,50 m. de altura, se encuentra a 1,20 m. de un poste que tiene 
encendida su luminaria a 3 m. del suelo, ¿cuál es el largo de la sombraque 
proyecta Nicolás? 
 
3. En la figura, para que L1 // L2 // L3, el valor de x debe ser: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Una piscina tiene 2,3 m de ancho; situándonos a 1,16 m del borde, desde una 
altura de 1,74 m, observamos que la visual une el borde de la piscina con la 
línea del fondo. ¿Qué profundidad tiene la piscina? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58° 
C D A 
B 
E 
58° 
 10 
 
 
 
5. En la figura a : b = 5 : 3 y c = 15. ¿Cuánto mide el trazo d? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actividad 6: Resuelve los siguientes ejercicios tipo PSU 
 
 
1. De acuerdo a la figura, ¿Cuál de las siguientes proposiciones es o son 
verdaderas? 
 
I. PQ= 8 
II. ∢ OPQ = 90º 
III. Δ SOR ˜ Δ QOP 
 
A. solo I 
B. Solo II 
C. Solo I y II 
D. Solo I y III 
E. I , II ,III 
 
 
2. En la figura adjunta AB // CD // EF. Suponiendo que todos los trazos indicados 
a continuación se miden con la misma unidad de medida “ u” , y si AC = 6u , 
CE = 4u y DF = 6u. Entonces BF= 
 
A. 4u 
B. 9u 
C. 12u 
D. 15u 
E. 18u 
 
 
3. En la figura adjunta se cumple que CD // AB, OA = 12 cm , OD = 18 cm y CB = 
35 cm. El segmento OC mide: 
 
A. 12 cm 
B. 14 cm 
C. 15 cm 
D. 16 cm 
E. 21 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 11 
4. El edificio B mide 18 m de alto y su ancho es 6 metros mayor que su alto. 
¿Cuántos metros más alto es el edificio A que el B? 
 
A. 10,8 
B. 12 
C. 30 
D. 59,3 
E. Ninguna de las anteriores 
 
 
 
Cierre 
 
Completa el siguiente cuadro resumen con los teoremas aprendidos en este taller. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pitágoras Euclides Thales 
Teoremas 
 12 
 
Evaluación Final 
 
1. ¿Cuál es la medida de x? 
 
A) 3 cm 
B) 2 cm 
C) 4 cm 
D) 9 cm 
E) 10 cm 
 
2. ¿Cuál es la medida del cateto que falta? 
 
 
A) 27 cm 
B) 16 cm 
C) 10 cm 
D) 9 cm 
E) 6 cm 
 
 
3. Para afirmar un poste se debe tensar una cuerda de 25m de largo desde una 
altura de 20m. ¿A qué distancia de la base del poste queda el otro extremo de 
la cuerda? 
 
 A) 15 m 
 
 B) 25 m 
 
 C) 30 m 
 
 D) 35 m 
 
 E) 40 m 
 
 
 
4. En la figura, ABCD es un rectángulo de lados AB = 8cm y BC = 6cm. Se dibuja 
la diagonal AC, con BF  AC y DE  AC, entonces EF mide: 
 
A) 1,8cm 
B) 2,8cm 
C) 3,2cm 
D) 3,6cm 
E) 6,4cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 cm 
5 cm 
x 
12 cm 
15 cm 
 
 A B 
D C 
E 
F 
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5. En el  ABC, rectángulo en C, se traza la altura CD y desde D, las 
perpendiculares DE y DF a los lados AC y BC respectivamente, como se 
muestra en la figura. Entonces DE2 + DF2 = 
 
A) p2 + q2 
B) 2pq 
C) (p + q)2 
D) p2 +pq + q2 
E) pq 
 
 
 
6. Una persona de 1,5 metros de altura proyecta una sombra de 3 metros. Ella se 
encuentra a 47 metros de un poste de luz. Entonces la altura del poste es: 
A) 70,5 m 
B) 52 m 
C) 36,5 m 
D) 25 m 
E) 23,5 m 
 
7. En la figura: BC // DE, entonces x=? 
A) 
B) 
C) 2 
D) 3 
E) N.A. 
8. Los segmentos se intersectan en el punto A. Si ED y CB son paralelas 
entonces ¿cuál es el valor de x = ? 
 
A) 1,5 
B) 2 
C) 3 
D) 4 
E) 12 
 
 
 
 
 
 
 A q D p B 
C 
 a 
 b hc 
E F