¿Cómo hallar un número tal que, si se le suma 15, 27 y 45, resultan tres números en proporción continua?

No se qué tiene que ver el enlace, pero me pareció muy interesante.
A ver si alguien por aquí lo sabe y nos lo aclara.

Bueno, voy con el problema.
Leo el enunciado, lo interpreto y lo traduzco a matemáticas.

hallar un número

En matemáticas, cuando hay que hallar un número se lo suele llamar X

tal que, si se le suma 15, 27 y 45, resultan tres números

Tres números:
X + 15,
X + 27,
X + 45

en proporción continua?

Creo que esto quiere decir que la proporción del primero al segundo es igual a la proporción del segundo al tercero.

Es decir:

X+15X+27=X+27X+45X+15X+27=X+27X+45

Bueno, al traducir la pregunta a matemáticas llegamos a una ecuación.
Como tenemos fracciones, multiplicamos ambos lados por ambos denominadores, para librarnos de esos denominadores.

(X+15)(X+45)=(X+27)(X+27)(X+15)(X+45)=(X+27)(X+27)

Aplicamos la Propiedad Distributiva (del producto respecto a la suma) en ambos lados de la ecuación.

X∗(X+45)+15∗(X+45)=X∗(X+27)+27∗(X+27)X∗(X+45)+15∗(X+45)=X∗(X+27)+27∗(X+27)

Otra vez aplicamos la Propiedad Distributiva (del producto respecto a la suma) en ambos lados de la ecuación.

X∗X+45X+15X+15∗45=X∗X+27X+27X+27∗27X∗X+45X+15X+15∗45=X∗X+27X+27X+27∗27

Restamos X*X en ambos lados y sumamos los términos en X

60X+15∗45=54X+27∗2760X+15∗45=54X+27∗27

Restamos 54X en ambos lados

6X+15∗45=27∗276X+15∗45=27∗27

Restamos 15*45 en ambos lados

6X=27∗27−15∗456X=27∗27−15∗45

Vemos que todos son múltiplos de 3, así que dividimos por 3 en ambos lados:

2X=27∗9−15∗15=27∗9−25∗9=2∗92X=27∗9−15∗15=27∗9−25∗9=2∗9

Dividimos entre 2 en ambos lados

X=9X=9

Verificamos:
9+15= 24 = 12*2 = 6*2*2 = 3*2*2*2
9+27 = 36 = 12*3 = 6*2*3 = 18*2
9+45 = 54 = 9*6 = 6*3*3 = 18*3

Por tanto:

6∗2∗26∗2∗3=6∗2∗36∗3∗3=236∗2∗26∗2∗3=6∗2∗36∗3∗3=23

Edito: al parecer el señor Nicholas Saunderson que aparece en el enlace era un experto en fracciones y proporciones. Escribió una obra de 2 tomos llamada “Elementos de Álgebra”, aunque fue publicada después de su muerte, y en ella uno de los principales temas eran las fracciones y las proporciones.