¿Cómo se podría y qué utilidades tendría aplicar un proceso estocástico basado en el vuelo de Lévy en economía?

A2A*. Gracias por la solicitud, nuevamente debo decir que uno es dueño de sus silencios, pero esclavo de sus palabras, así que mi alusión en una pregunta anterior me obliga a dar una respuesta decente a esto. Cosa que hago con gusto.

El asunto se refiere al famosísimo modelo de Black–Scholes que acabó llevando a dos de sus creadores a recibir un premio “Nobel” de economía en 1997. Dicho modelo se basa en la asunción de que el precio de ciertos activos financieros depende de micro-shocks financieros que pueden ser modelizados como un movimiento browniano o proceso de Wiener (este movimiento browniano da lugar a una trayectoria continua, pero no diferenciable que generaliza el modelo del paseo aleatorio a un caso continuo en el tiempo). R. C. Merton, F. Black y M. Scholes tomaron el trabajo de Wiener y forzadamente lo adaptaron a problemas económicos, pero de una forma, en mi opinión, un tanto defectiva por lo falto de generalidad de su procedimiento.

Es interesate hablar un poco del trabajo de Wiener en los años 1920. Matemáticamente, el trabajo de Wiener fue muy interesante e innovador, pretendía responder a respuestas complicadas de probabilidad, como qué posibilidad hay de que el vuelo errático de una mosca atraviese una cierta posición si conocemos que con anterioridad estaba en esta otra posición. Wiener empleó algunas asunciones para modelizarlo y logró una teoría matemática compleja donde la posición futura dependía condicionalmente de la posición pasada pero los incrementos parecían aleatorios y dados por una distribución normal o gaussiana. Una simulación típica de movimiento browniano hecha por ordenador genera gráficos que se parecen a las fluctuaciones típicas del precio de activos cotizados en bolsa. Estas gráficas muestran movimientos brownianos simulados (no reales):

A la vista del gráfico se antoja determinar algunas propiedades estadísticas de esos grafos y usarlos como parámetros de simulaciones que reproduzcan el fenómeno, esa es la idea que hay tras el modelo de Black-Scholes que general gráficos que cualitativamente “parecen” evoluciones de cotizaciones bursátiles.

Sin embargo, el proceso de Wiener fue ideado y trabajo a fondo por Norbert Wiener en la década de 1920 (algunas partes del la biografía ficcional de Sheldon Cooper el personaje de The Big Bang Theory parecen inspiradas en la infancia y adolescencia del Wiener!) pero usó una hipótesis razonable pero limitante importante dados dos instantes de tiempo t1t1 y t2t2 la diferencia de valor de una variable WtWt dada por un proceso de Wiener cumplirá que Wt2−Wt1∼N(0,t2−t1)Wt2−Wt1∼N(0,t2−t1) donde N(0,u)N(0,u) es una distribución normal o gaussiana de media cero y desviación tipo uu. Esto limita mucho la posibilidad de caídas catastróficas y abruptas como las que de tanto en tanto se producen en los mercados bursátiles (de hecho, el modelo de Black-Scholes es declaradamente malo para predecir ese tipo de fluctuaciones catastróficas).

En los años siguientes Paul Lévy generalizó este tipo de ideas para distribuciones más generales. Y en particular en los años 1980 se usaron las ideas de Lévy para definir el llamado vuelo de Lévy a partir del cual se pueden definir procesos estocásticos más complicados matemáticamente que el proceso de Wiener, donde sí son posibles caídas catastróficas y abruptas. Al hacer que los incrementos Wt2−Wt1Wt2−Wt1 se distribuyan, no según una distribución normal o gaussiana (ejemplo clásico de función de “cola ligera”), sino por una distribución de “cola pesada”. Obviamente muchas propiedades matemáticas bonitas se pierden con este cambio, y la literatura sobre estos procesos es más escasa y menos rica en resultados, pero se gana en realismo en ciertas circunstancias.