¿Qué relación hay entre los procesos estocásticos y la física?

Antes de nada, veamos un par de definiciones que podemos encontrar en la literatura especializada del concepto de proceso estocástico:

Un proceso estocástico X={X(t),t∈T}X={X(t),t∈T} es una colección de variables aleatorias. Es decir, para cada tt en el conjunto índice TT, X(t)X(t) es una variable aleatoria. Con frecuencia interpretamos t como el tiempo y denominamos a X(t)X(t) el estado del proceso en el momento tt. Si el índice TT es un conjunto enumerable denominamos a XX proceso estocástico en tiempo-discreto, y si TT es un conjunto continuo lo denominamos proceso en tiempo-continuo.

Fuente: ROSS, Sheldon M., et al. Stochastic processes. New York: Wiley, 1996.

Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias (de valores reales o complejos) X={X(t);t∈T}X={X(t);t∈T} , definidas sobre un espacio de probabilidad {Ω,B,P}{Ω,B,P} , donde el conjunto de parámetros TT es un subconjunto de la recta real R.R.

Fuente: TODOROVIC, Petar. An introduction to stochastic processes and their applications. Springer Science & Business Media, 2012

Los procesos estocásticos pueden tomar distintas formas: procesos de Poisson, cadenas de Markov discretas (en tiempo discreto), cadenas de Markov continuas (en tiempo-continuo), movimiento browniano.

Con cualquiera de las anteriores definiciones en mente, cualquier modelo físico que incluya el tiempo como variable explicativa (no necesariamente tiene que ser tiempo continuo, puede ser simplemente una ordenación de sucesos) y cuya naturaleza sea probabilística podría ser considerado un modelo basado en procesos estocásticos.

Esto incluye fenómenos como:

• En mecánica cuántica, el colapso de la función de onda de Schrödinger. Aunque la evolución de la función de onda de Shrödinger es determinista y lineal [H^ψ(r,t)=iℏ∂∂tψ(r,t)H^ψ(r,t)=iℏ∂∂tψ(r,t)], el colapso de la función de onda (es decir, lo que ocurre cuando medimos) no lo es y produce resultados que tienen una naturaleza probabilística.
• El ruido térmico blanco y el ruido térmico de color.
• El movimiento browniano (también denominado proceso de Wiener estándar).

Incluso el estudio de sistemas que aparentemente son no probabilísticos sino deterministas, con frecuencia implican modelos demasiado complejos o muy inestables (sistemas no lineales, caóticos), que implican que pequeños errores de medida en los estados de t=0t=0, lleven a grandes variaciones en los estados futuros. En estos casos, la modelización y simulación mediante procesos estocásticos de parte del sistema puede ser muy útil para entender el comportamiento y/o hacer predicciones. Esto es, por ejemplo, lo que se hace con el tiempo atmosférico.

Referencias:

• FREUND, Jan A.; PÖSCHEL, Thorsten (ed.). Stochastic processes in physics, chemistry, and biology. Springer Science & Business Media, 2000.
• TODOROVIC, Petar. An introduction to stochastic processes and their applications. Springer Science & Business Media, 2012.
• RENARD, Philippe; ALCOLEA, Andres; GINSBOURGER, David. Stochastic versus deterministic approaches. Environmental modelling: Finding simplicity in complexity, 2013, p. 133-149.
• AHMED, Asad; RASHID, Adnan; IQBAL, Sohail. Analysis of weather forecasting model in PRISM. En 2014 12th International Conference on Frontiers of Information Technology. IEEE, 2014. p. 355-360.