¿De cuántas maneras se pueden ubicar 8 bolitas rojas y 7 azules en 18 cajas numeradas? (En cada caja puede no haber ninguna bolita o puede haber...

Tal como está expuesta la pregunta sería como que cada caja tuviese solo dos huecos, uno para bola azul y otro para bola roja.
En cada "hueco" de un color puede haber o no haber bola de ese color, pero en total tenemos 8 rojas y 7 azules.

Las formas de colocar las 8 rojas es "combinaciones de 18 elementos tomados de 8 en 8", es decir, subconjuntos de 8 elementos tomados de los 18 elementos posibles.
C(18, 8) = 18! / (10! * 8!) = 18*17*16*15*14*13*12*11/(8*7*6*5*4*3*2) =
= 18*17*13*11

Un ejemplo de colocación sería :
[ v, v, R, R, v, R, R, R, v, v, v, R, v, R, v, R, v, v]
La "v" significaría [hueco] "vacío" y la R una bola roja.
Y dado que C(18, 8) significa tomar 8 elementos sin importar el orden, en este caso los 8 elementos que tomamos son los números de las cajas que tienen bola roja.
{ 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16}
Lo represento entre corchetes ("{" y "}") porque es un conjunto de 8 elementos.
Es decir, aquí no importa el orden.

He supuesto que las bolas rojas no son distinguibles entre sí.
(que es lo habitual cuando se habla de bolas de un color… mientras no se diga lo contrario)

Las formas de colocar las 7 azules es "combinaciones de 18 elementos tomados de 7 en 7", es decir, subconjuntos de 7 elementos tomados de los 18 elementos posibles.
C(18, 7) = 18! / (11! * 7!) = 18*17*16*15*14*13*12/(7*6*5*4*3*2) =
= 18*17*8*13

El total es multiplicar ambas cantidades, ya que por cada combinación de un color pueden existir todas y cada una de las combinaciones del otro color
Total = C(18, 8)*C(18, 7) = 18*17*13*11 * 18*17*8*13 = (18*17*13)^2 * 88 =
= 1392554592
Es decir, unos 1392 millones de formas diferentes.

En caso de que las cajas pudiesen tener cualquier cantidad de bolas de cada color (y no una o ninguna de cada color) el enfoque sería diferente.
Cada color se calcularía por separado, como antes, pero el cálculo sería diferente.
Se podría enfocar como Estrellas y Barras
Ejemplo:
**||***|||***||||||||||||
Significa que hay 8 bolas (rojas) expresadas con Estrellas y en el primer hueco hay 2 de ellas, en el segundo ninguna, en el tercero 3 y en el sexto otras 3.
Los 18 huecos son las cajas diferentes y para 18 huecos se necesitan 17 separadores expresados por las 17 barras.
El total de formas de colocar las bolas sería Permutaciones con repetición de esos elementos 8 Estrellas y 17 barras. PR(25, 8, 17) = 25! / (8! * 17!)
También se puede ver como Combinaciones de 25 elementos (el lugar que ocupan las 8 Estrellas) tomados de 8 en 8.
C(25, 8) = 25! / (8! * 17!) = 25*24*23*22*21*20*19*18/(8*7*6*5*4*3*2)
= 25*23*11*19*9

De forma análoga
C(24, 7) = 24! / (7! * 17!) = 24*23*22*21*20*19*18/(7*6*5*4*3*2)
= 2*23*22*19*18

Total:
25*23*11*19*9 * 2*23*22*19*18 = 374337433800
Unos 374 mil millones de formas diferentes.

Otra interpretación sería si las bolas son distinguibles.
Es decir, cada bola roja sería distinta a las demás rojas y cada bola azul distinta a las demás azules.
Para distinguirlas podríamos ponerles números.
Las rojas serían R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8
Las azules serían A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7

En este caso cada combinación que situase las 8 rojas en 8 de los 18 huecos rojos posibles se multiplicaría por las permutaciones de las 8 rojas. P(8) = 8!

C(18, 8) * P(8) = 18! / (10! * 8!) * 8! = 18*17*16*15*14*13*12*11

Y cada combinación que situase las 7 azules en 7 de los 18 huecos azules posibles se multiplicaría por las permutaciones de las 7 azules. P(7) = 7!

C(18, 7) * P(7) = 18! / (11! * 7!) * 7! = 18*17*16*15*14*13*12

El total sería:
C(18, 8) * P(8) * C(18, 7) * P(7) =
= 18*17*16*15*14*13*12*11 * 18*17*16*15*14*13*12
= 11*(18*17*16*15*14*13*12)^2

= 2.8298492e+17

Ya no serían del orden de "miles de millones" sino de miles de billones.
Concretamente, alrededor de 283 mil billones, para este caso de bolas distinguibles. (que no sería lo que se suele entender cuando hablan de "bolas" de un color)

Otra forma de verlo es que las bolas distinguibles en huecos serían algo así:
v v B3 v B1 v v B2 v B5 v B6 B7 B8 v v v B4
Eso significa que el primer hueco rojo estaría "vacío", representado por una letra "v", el segundo también vacío, el tercero tendría la bola B3, el cuarto vacío, el quinto la bola B1 … y así.

Como hay 18 huecos rojos y 8 bolas rojas, quedarán 10 huecos vacíos, es decir, 10 letras "v".
El número se puede calcular como Permutaciones con Repetición de 18 elementos donde uno de esos elementos (la "v") se repite 10 veces.
PR(18; 10) = 18! / 10! = 18*17*16*15*14*13*12*11

Con los huecos azules se haría algo similar… pero habría 7 bolas azules y 11 vacíos.
PR(18; 11) = 18! / 11! = 18*17*16*15*14*13*12

Total : PR(18; 10) * PR(18; 11) = 2.8298492e+17

Mismo resultado, pero pensado desde otro punto de vista.