¿Deben memorizarse las definiciones matemáticas?

Deben ser comprendidas. Y no meramente entendidas, sino que el estudiante debería comprender qué motivo existe para que alguien considerara importante ese concepto; qué lo diferencia de otros similares, qué sutil diferencia aporta, qué efectos conlleva.

Cuando se ha entendido eso, no hace falta memorizar nada; todo ha quedado aclarado, y para siempre.

Me voy a permitir poner un ejemplo: la definición de sucesión de Cauchy:

Una sucesión (ai)(ai) es una sucesión de Cauchy cuando:

(∀ϵ>0):∃n∈N tal que |ap−aq|<ϵ;∀p,q≥n(∀ϵ>0):∃n∈N tal que |ap−aq|<ϵ;∀p,q≥n

Cuando un estudiante se enfrenta por vez primera a esta galimatías, ¿qué debe hacer?, ¿memorizar esta cadena de símbolos?

Yo te lo diré: debe intentar:

1. Lo primero, entender la idea subyacente.
2. Pensar que alguien (Cauchy) decidió (y la comunidad matemática lo entendió) que era un concepto importante, tanto como para que alguien lo tenga que estudiar siglos después; y que es por algo, aunque de momento se le escape el motivo (y no preguntar como un imbécil ¿Para qué me sirve en mi vida diaria esta definición?). Esto abre (debería abrir) al estudiante varios caminos, que debe transitarlos todos:
1. ¿Qué implica esta definición?
2. ¿Esta condición es condición suficiente, necesaria, ambas o ninguna de ellas, para otras cosas tales como la convergencia de una sucesión a un valor concreto del conjunto de elementos en los que está definida la sucesión?
3. Podrían existir sucesiones de Cauchy que no fueran convergentes?

Te aseguro que un estudiante que haya recorrido este camino no necesita memorizar nada, porque ya lo lleva grabado a fuego por los siglos de los siglos. De hecho, yo no he necesitado copiar esta definición de sitio alguno: la llevo interiorizada porque transité ese camino.

Así se estudian las matemáticas. Pero no son cosas que pueda realizar un niño de cinco años ni que puedan realizarse sin dedicación, tiempo, y ¿por qué no decirlo?, con amor por lo que se está estudiando.