¿Halla la solución principal en : Tanx + Cotx=4?

Sea la ecuación

tan(x)+cot(x)=4tan⁡(x)+cot⁡(x)=4

La cotangente de xx se puede reescribir como 1tan(x),1tan⁡(x), ya que representan lo mismo, por lo que tenemos que

tan(x)+1tan(x)=4tan⁡(x)+1tan⁡(x)=4

Multiplicando con tan(x)tan⁡(x) a ambos lados de la igualdad, obtenemos que

tan2(x)+1=4tan(x)tan2⁡(x)+1=4tan⁡(x)

Restando 4tan(x)4tan⁡(x) a ambos lados de la igualdad, obtenemos que

tan2(x)−4tan(x)+1=0tan2⁡(x)−4tan⁡(x)+1=0

Esto es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son

tan(x)=−(−4)±(−4)2−4⋅1⋅1−−−−−−−−−−−−√2⋅1tan⁡(x)=−(−4)±(−4)2−4⋅1⋅12⋅1

tan(x)=4±16−4−−−−−√2tan⁡(x)=4±16−42

tan(x)=4±12−−√2tan⁡(x)=4±122

tan(x)=4±22⋅3−−−−√2tan⁡(x)=4±22⋅32

tan(x)=4±23–√2tan⁡(x)=4±232

tan(x)=2(2±3–√)2tan⁡(x)=2(2±3)2

tan(x)=2±3–√tan⁡(x)=2±3

Por tanto,

x=arctan(2±3–√)x=arctan⁡(2±3)

Es decir, que o bien

x=arctan(2+3–√)=75∘=512π radx=arctan⁡(2+3)=75∘=512π rad

o bien

x=arctan(2−3–√)=15∘=112π radx=arctan⁡(2−3)=15∘=112π rad

Y de hecho, si pones estos valores de xx en la ecuación del principio, verás que cumplen con la igualdad.

Pero a estos valores también se les puede sumar o restar un múltiplo entero de 360∘=2π rad360∘=2π rad (en ambas tangentes, o en una sola, o en una sumas y en otra restas) y siguen cumpliendo con la igualdad. Esto es debido a la periodicidad de la función tangente.

Pero ¿cuáles son las soluciones principales?

Los valores principales para la tangente son

−π2<x<π2−π2

y los de la cotangente

0<x<π0

[WikipediaEN. "Trigonometric functions". Apartado "Inverse functions"].

Los únicos valores para xx que cumplen con estas dos acotaciones son

x=75∘=512π radx=75∘=512π rad

y

x=15∘=112π radx=15∘=112π rad

Así que esos son las soluciones principales de la ecuación.