¿Se puede resolver esta integral por integración por partes ∫√a^2−x^2dx?

Entiendo que la pregunta se refiere -probablemente- a la integral de la raíz cuadrada del binomio a² - x², para lo que faltaría un paréntesis, de esta forma:

∫√ (a² - x² ) dx

En el capítulo de la integración de funciones en términos elementales es muy difícil o a veces hasta imposible afirmar taxativamente que NO se puede lograr el cálculo mediante el método de integración por partes, o cualquier otro método. Porque aunque no se vea a simple vista (en este caso, tampoco se ve a doble ni a triple vista…), en principio podría existir alguna manera muy, muy recóndita y complicada en la cual pudiera aplicarse ese método. Y si no existe ese camino, habría que demostrarlo para descartarlo por completo, algo tremendamente difícil.

Sin embargo, la integración en términos elementales es un arte (intuitivo casi siempre), y no una técnica; la inmensa mayoría de integrales no es posible calcularlas mediante un número finito de funciones elementales, ligadas por una cantidad finita de sumas, restas, productos, cocientes, potencias o raíces. Y las pocas integrales que se pueden calcular en esos términos elementales se logran mediante la experiencia, o dicho de manera más gráfica, el olfato matemático.

Así pues, cuando alguien que conoce muy bien la técnica de integración no ve cómo aplicar cierto método, lo normal es pensar que ese método no es aplicable a ese caso; a pesar de que podría serlo de maneras tan retorcidas que a nadie se le ocurran, pero no es lo frecuente ni lo probable.

De esta manera, hay que decir que el método más directo que aparece en todos los textos para esta integral irracional es el cambio de variable, concretamente un cambio trigonométrico.

Va bien el cambio x = a sen t, o también (simétricamente) x = a cos t.

Eligiendo x = a sen t → dx = a cos t dt

También es t = arc sen (x/a) ;

como x = a sen t → sen t = (x/a) → cos t = √ [ (1 - (x/a)² ] = (1/a) √ (a² - x² )

Por tanto, ∫√ (a² - x² ) dx = ∫√ (a² - a² sen² t ) a cos t dt =

= ∫√ [a² (1 - sen² t ) ] a cos t dt = ∫[ √ (a² cos² t ) ] * a cos t dt =

= ∫(a cos t) a cos t dt = a² ∫cos² t dt =

= (a²/2) * ∫2 cos² t dt = a²/2 * ∫(1 + cos 2t) dt = (a²/2) * [t + (1/2) sen 2t] + C

= (a²/2) * [t + (1/2) * 2 sen t cos t ] + C = (a²/2) * [t + sen t cos t] + C =

= (a²/2) * [arc sen (x/a) + (a²/2) * (x/a) (1/a) √ (a² - x² ) ] + C =

= (a²/2) * arc sen (x/a) + (1/2) x √ (a² - x² ) + C ;

que es la integral que se pedía calcular.

EDICIÓN POSTERIOR:

Si se entiende que la integral inmediata ∫ dw / √ (1 - w² ) = arcsen w + C no se ha obtenido mediante cambio de variable, entonces sí que es posible integrar por partes

para calcular la integral pedida, ∫√ (a² - x² ) dx , como bien explica Alberto Cid en su excelente respuesta: