? ¿No sería suficiente con sobrentender que la expresión es válida en el dominio del logaritmo?

Gracias por la pregunta.

Vamos a empezar con el proceso inverso, es decir, definimos f:R+→Rf:R+→R, f(x)=ln(x)f(x)=ln⁡(x), donde es importante notar que el dominio de ff son los reales positivos, con lo que cabe pensar que, puesto que el neperiano es continuo y derivable, su derivada esté definida en los reales positivos, y así es, puesto que f′(x)=1xf′(x)=1x, f′(x):R+→Rf′(x):R+→R.

Y alguien podría decir que f′(x)f′(x) está definido en todos los reales salvo el 00, (puesto que 1010 no es posible), pero eso no es correcto del todo puesto que somos nosotros los que escogemos el dominio de definición de la función y en este caso viene determinado por ser la derivada de ff.

Ahora con lo que se pregunta específicamente, ∫1xdx∫1xdx. Aquí se nos pregunta por la función primitiva de 1x1x función definida en todos los reales salvo el 00, puesto que aquí tratamos de buscar la primitiva que más dominio posible abarque, todo este sí es posible, y en efecto esa primitiva, o más bien dicho el conjunto de primitivas, es ln(|x|)+Cln⁡(|x|)+C, C∈RC∈R, que se podría descomponer en:

F(x)={ln(x)+Cln(−x)+Cx>0x<0F(x)={ln⁡(x)+Cx>0ln⁡(−x)+Cx<0

De esta forma hemos conseguido una definición de primitiva mucho más fuerte que si simplemente hubiésemos dicho que es ln(x)+Cln⁡(x)+C, porque tal vez estuviesen interesados en calcular ∫−1−e1xdx∫−e−11xdx, y ahí tendríamos complicada una respuesta puesto que el neperiano de un número menor o igual que cero no está definido (en los reales).

Ahora, ¿es necesario? Bueno, depende de cómo de estricto se quiera ser. Como pequeña anécdota, puedo decir que cuando integraba en 2º de bachillerato, no era necesario poner el valor absoluto en el neperiano, pero cuando entré en primero de Ingeniería, en Cálculo era obligatorio ponerlo.

¿Por qué? Bueno, imagina que al integrar una función más complicada te sale lnln(x4−3x2+7)ex(x3+x−2)ln⁡ln⁡(x4−3x2+7)ex(x3+x−2), pues ya me dirás tú cuándo está definido ese neperiano (aunque no sea muy complicado de hallar), pero para no perder el tiempo en esas cosas y conseguir más dominio de definición, mejor ponemos el valor absoluto y nadie sale herido.