¿Sabrías calcular el valor de la siguiente expresión: B = 2 + 6 + 12 + 20 + … 1806?

Consiste en descomponer cada sumando en otros sumandos

2 = 2

6 = 2 + 4

12=2 + 4 + 6

20=2 + 4 + 6 + 8

30=2 + 4 + 6 + 8 + 10

42=2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

dichas sumas son sencillas de hacer porque son sucesiones aritméticas.

Lo que necesitamos es saber cuál es el último elemento de estas sumas

2+4+6+8+ …+x = 1806

Por la fórmula de la suma de una sucesión aritmética de x/2 términos tendremos

(x+2)x22=1806(x+2)x22=1806

x(x+2)4=1806x(x+2)4=1806

x2+2x=7224x2+2x=7224

x2+2x−7224=0x2+2x−7224=0

x=−2±4+28896√2=−2±1702=84x=−2±4+288962=−2±1702=84

Luego la suma más larga es hasta 84, la segunda hasta 82, la siguiente hasta 80 y la más corta solo contiene el 2

2 = 2

2 + 4 = 6

2 + 4 + 6 = 12

….

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 80 + 82 + 84 = 1806

La suma de cada fila de estas es una sucesión aritrmética que podemos calcular así

Sn=n(2+2n)2=n2+nSn=n(2+2n)2=n2+n

Y debemos hacer sumas de estas desde 1 hasta 42

∑42n=1(n2+n)=∑42n=1n2+∑42n=1n=∑n=142(n2+n)=∑n=142n2+∑n=142n=

La segunda es la suma de una sucesión aritmética, sabemos la fórmula. Quizá la que no sepamos es la de la la primera suma que es la suma de los n primeros n cuadrados, te la voy a escribir y la buscas si quieres profundizar en ella

∑ni=1n2=n(n+1)(2n+1)6∑i=1nn2=n(n+1)(2n+1)6

Con todo esto nuestra suma será

=42⋅43⋅856+42⋅432=25585+903=26488=42·43·856+42·432=25585+903=26488

Y eso es todo. Harás bien como yo en no fiarte del resultado, yo tampoco me fío del todo, por eso dentro de un rato lo voy a comprobar con ordenador y te diré si está bien.

Efectivamente está bien la respuesta.