¿Cuáles son algunas secuencias numéricas difíciles de adivinar?

Como se sabe, no hay una solución única para ninguna secuencia finita de caracteres, sean números, letras o signos especiales. Por el contrario, siendo dados k números reales o complejos, siendo k un entero positivo cualquiera, por ejemplo, es sencillo demostrar que existen infinitas sucesiones distintas cuyos k primeros términos coinciden en todas ellas. Y además puede probarse tomando funciones polinómicas, que son las más sencillas. A este efecto, puede utilizarse la llamada Fórmula de interpolación de Lagrange (realmente descubierta antes por Waring).

Si tenemos que a los valores x₀, x₁, x₂…xₙ (que pueden ser por ejemplo 1,2,3,…n+1) corresponden, respectivamente, y₀, y₁, y₂…yₙ, el polinomio, de grado n en x, que verifica esa correspondencia es:

Pₙ(x) =

= y₀ * [ NO(x - x₀) * (x - x₁)…(x - xₙ)]/ [NO (x₀ - x₀) * (x₀ - x₁)…(x₀ -xₙ)] +

+y₁ * [ (x - x₀) * NO (x - x₁)*…(x - xₙ)] / [(x₁ - x₀) NO (x₁ - x₁)…(x₁ -xₙ)] +…

.

.

+ yₙ * [(x - x₀) * (x - x₁)…*(x-xₙ-₁) NO (x - xₙ) ] / [(xₙ- x₀) (xₙ - x₁) …(xₙ - xₙ-₁) NO (xₙ - xₙ)]

(En los dos primeros corchetes no figuran el binomio (x - x₀), ni (x₀ - x₀), respectivamente; en los segundos no figuran, respect. (x - x₁) ni (x₁ - x₁) …etc. hasta los dos últimos, en los que no figuran, respect. (x - xₙ) ni (xₙ - xₙ); en cada producto hay por tanto n binomios)

De modo que, por ejemplo, la secuencia 2,4,6,8 podría pertencer lo mismo a la secuencia de ley general:

F(n)=2n (n>0), y el siguiente número sería el 10 (=2*5), como puede pertenecer igualmente a la secuencia de ley general:

G(n)=(1/12)*(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)-(2/3)*(n-1)(n-3)(n-4)(n-5)+

+(3/2)*(n-1)(n-2)(n-4)(n-5)-(4/3)* (n-1)(n-2)(n-3)(n-5) +

+23 * (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) , y entonces el siguiente número después de 2,4,6,8 sería el 23 (!!) con toda lógica…pues G(1)=2, G(2)=4, G(3)=6, G(4)=8, G(5)=23.

Así que cuando nos preguntan qué número sigue a esta serie (finita): a, b, c…l ¿? la respuesta es: sigue el número que tú quieras, incluso puede ser irracional o imaginario, o positivo, o negativo o cero.

Análogamente, después de las cartas {2 de diamantes, 3 de diamantes, 4 de diamantes, 5 de diamantes, 6 de diamantes} puede seguir, por cierta regla, la reina de trébol…no necesariamente el 7 de diamantes (!!).

Ahora bien, si queremos utilizar una clave para identificar a una tercera persona y saber si podemos confiar en ella sin haberla visto antes (trabajo de espías) sí que podemos usar una secuencia con una ley que esa persona debe conocer, y nos debe decir qué término o términos siguen a unos dados por nosotros en cierto orden, siguiendo la única ley válida.

Ejemplo:

Debo entregar a mi hermana 5000 euros para una compra en el extranjero y como ella ya está allí tengo que dárselos a una amiga suya, de toda confianza, a la que no conozco personalmente, y que me esperará en el aeropuerto en tal sitio a tal hora.

Tenemos una clave mi hermana y yo para que nadie más pueda saberla, y ella se la ha contado a su amiga, llamémosla Janet.

Encuentro a Janet en el aeropuerto:

-¡Hola! ¿tú eres Deborah? -

-No, soy Janet-. [Empezamos bien, pienso.]

(Bueno, es que he visto demasiadas películas, disculpad el trastorno mental por exceso de cine…).

Pero claro, darle 5000 € a una desconocida… podría haberse enterado de que pienso entregar dinero para mi hermana, tal vez la oyó hablar por teléfono… el caso requiere asegurarse.

Entonces, en una servilleta de la cafetería del aeropuerto, le escribo esta secuencia:

1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 5, 3, 2…y le pido que escriba los diez siguientes números. Ya sabemos que hay infinitas sucesiones cuyos primeros 20 términos son estos y en ese mismo orden, pero ahora solo vale la sucesión única que empleamos como clave, por tanto solo me sirve que lo haga según la única regla que hemos acordado mi hermana y yo.

Entonces Janet escribe: 3,4,5,4,3,4,5,6,4,3.

Y yo respiro aliviado y le entrego los 5000 €. Además pago el café como detalle por su amable favor.

EXPLICACIÓN: Me da un poco de pena "quemar" esta clave, pero bueno, ya idearé otra; para este ejemplo creo que es ideal porque es de verdad una secuencia dificilísima de reventar.

Intente el lector descubrir por sí mismo alguna ley lógica que genere esta sucesión y sea lo menos complicada posible antes de leer la solución que cuento en los párrafos siguientes…

(€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€€)

Escribo todos los números romanos, en este caso, del 1 al 30:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X

XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX

XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX

Y la sucesión secreta es los números de letras de cada número romano:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X → 1,2,3,2,1,2,3,4,2,1

XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, XX → 2,3,4,3,2,3,4,5,3,2

(los primeros 20 que escribí yo)

XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX → 3,4,5,4,3,4,5,6,4,3

(La contestación correcta de Janet).

He aquí una secuencia difícil de adivinar, como pide la pregunta. Las hay mucho más difíciles, claro, pero para andar por ahí sirve desde luego y tiene la ventaja de que se recuerda muy fácilmente.