¿Cuál es el número que falta en la secuencia 2, 7, 14, 23, 34, 47, 62, 79, _?

La respuesta es 98, como indican otros usuarios. Una forma de razonarlo es que la diferencia entre los términos es 2 y 7 es 5, entre 7 y 14 es 7, entre 14 y 23 es 9, entre 23 y 34 es 11, etc. Resumiendo, las diferencias son 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …. La siguiente diferencia sería 19 y por tanto, 79+19 = 98.

El motivo es que es una progresión aritmética de segundo orden, en el que la diferencia entre los elementos no es constante, sino que se va incrementando, en este caso añadiendo 2 a la diferencia anterior entre términos. También lo podríamos ver si hallamos las diferencias entre los términos de 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,…, o sea, si hallamos las diferencias de las diferencias, que nos da una constante, en este caso 2.

El término general de la progresión aritmética de segundo orden es

a * n^2 + b * n + c ( a por n elevado al cuadrado, más b por n, más c )

El término general de una sucesión de diferencias de las progresiones aritméticas de segundo orden es de la forma

2 * a * n + a + b

que se puede hallar fácilmente restando al término n+1 de la sucesión el término n-ésimo.

Podemos hallar por tanto, a, b y c de varias formas. La más sencilla es observar que el término general de las diferencias en este caso concreto es

2 * n + 3 , ( 2 * 1 + 3 = 5, 2 * 2 + 3 = 7, 2 * 3 + 3 = 9, … )

Igualando ambas expresiones podemos separar aquello que multiplica a n y los sumandos que no multiplican a n, de forma similar a los polinomios. Así,

2 * a * n + a + b = 2 * n + 3 , implica que 2 * a * n = 2 * n , de donde 2 * a = 2 , luego a = 1. Asimismo,

a + b = 3 , que son los sumandos que quedan. Sustituyendo el valor de a = 1, tenemos que b = 2.

Sustituyendo a y b tenemos que el término general es de la forma

a * n^2 + b * n + c = 1 * n^2 + 2 * n + c = n^2 + 2 * n + c ,( n cuadrado más 2 por n más c ) .

Para n = 1 el término es igual a 2, luego 1^2 + 2 * 1 + c = 1 + 2 + c = 3 + c = 2, por lo que c = -1. Por consiguiente, la fórmula general para hallar los términos es

n^2 + 2 * n - 1 , ( n elevado al cuadrado más 2 por n menos 1 ).

Es fácil comprobar que para el 9 da el valor 98, que falta en la secuencia.