¿Cuál es la regla para encontrar el n-ésimo término en la sucesión 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29?

Fijaos en lo siguiente:

A1= 1

A2 = 2 = 1 +1 = A1 +(2 -1 )

A3=4 =2 +2 = A2 + ( 3 -1 )

A4 = 7 = 4 +3 = A3 + ( 4–1 )

Cada término es igual al anterior más el puesto que ocupa disminuido en una unidad,

O sea An = A(n-1) + (n-1)

A8 = A7 + 6 = 22 +7 = 29

Sin embargo este método no es práctico porque si nos piden cual es ( por ejemplo ) el termino 78, nos pueden dar las "uvas".

Vamos a obtener una fórmula general en función de "n"

A1=A1

A2=A1 +1

A3= A2 +2

…….

A(n-1)= A(n-2) + ( n-2)

An= A(n-1) + (n-1)

Sumamos miembro a miembro las igualdades:

A1+A2+A3+…A(n-1)+ An = A1 + A1 +A2+A3+..A(n-1) + ( 1+2+3+….(n-1) )

Eliminamos elementos comunes y queda :

An = A1 + ( 1+2+3+…+(n-1) ). En el paréntesis tenemos una progresión aritmética de razón UNO. Su suma es (1 + (n-1))*(n-1)/2 = n(n-1)/2.

Como A1 es igual a 1 queda definitivamente:

An =1 + n(n-1)/2 = (n^2 - n +2 )/2