¿Son útiles los números imaginarios? ¿Podrías darme un ejemplo que pueda entender?

En muchos libros y artículos puedes ver que no se puede hacer casi nada sin números complejos, de hecho el Teorema fundamental del álgebra permite saber que todo polinomio de grado n con coeficientes complejos cualesquiera se factoriza en un producto de n polinomios lineales, es decir, binomios del tipo x-a, y así toda ecuación polinómica de grado n tiene n soluciones (algunas o todas pueden ser iguales). Especialmente es interesante, históricamente, el caso en que todos los coeficientes son reales, y sin embargo la ecuación de grado n sigue teniendo n soluciones (iguales o distintas), algunas pueden ser reales, o todas, y algunas o todas imaginarias.

Pero por dar un ejemplo que no sea tópico y con cierto punto lúdico, fíjate en el problema de encontrar todas las ternas pitagóricas, es decir, ternas de enteros positivos que pueden ser los lados de un triángulo rectángulo, es decir:

Averiguar todas las soluciones en enteros positivos de la ecuación diofántica x²+y²=z²

No he visto ninguna manera de resolver esta ecuación (y hay muchas) que sea más simple ni más sorprendente que emplear cualquier número imaginario, a+bi, con a y b enteros positivos; si quieres con a>b, aunque no es forzosa esa condición, luego se verá porqué:

Elijo libremente 11+8i, por ejemplo: solo tengo que elevarlo al cuadrado:

(11+8i)² = (121–64) + 2*8*11 i = 57+176i; pues bien, si tomas 57 y 176 como los catetos de un triángulo rectángulo, la hipotenusa será el cuadrado del módulo del nº imaginario elegido, o sea, 11²+8²=185, de modo que:

57²+176²=185²; en este caso sale una solución primitiva, es decir, con los tres valores x,y,z primos entre sí, o sea, sin divisor común distinto de 1, pero si no fuera así siempre puedes dividir todos los valores por el MCD de los tres y obtienes una solución primitiva (por ser homogénea la ecuación pitagórica). Multiplicando por cualquier factor entero positivo obtienes toda una rama de soluciones derivada de la solución primitiva.

Otros ejemplos:

(2+i)²=3+4i, por tanto la hipotenusa será 2²+1²=5, y así:

3²+4²=5²

Si escogemos ab, aunque no es estrictamente necesario.

(5+3i)²=16+30i, x=16, y=30, z=5²+3²=34; dividiendo por el MCD=2, resulta:

x=8, y=15, z=17; así, 8²+15²=17²

Imagina cuántas otras posibilidades mucho más profundas pueden tener en la matemática elemental y en la matemática avanzada los números imaginarios, que no son más imaginarios que los negativos, o incluso que el número 1, al que nunca nadie ha visto ni escuchado decir nada…