¿Por qué se usa el término "homogéneo" para describir un sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos constantes son cero? ¿Por qué...

Es una definición muy concreta en matemáticas, la de "homogeneidad".

Cuando se tiene un polinomio (entero) en una o en varias variables, se llama grado de un término a la suma de los exponentes de todas sus variables o indeterminadas.

Por ejemplo, en el término (o monomio) 3x²y³z⁴ el grado es 2 + 3 + 4 = 9.

El grado de una constante no nula (sea numérica o literal) ¡por definición! es cero. Aunque se entiende también observando que 6 = 6x⁰, luego el grado de la constante no nula 6 es cero; o bien 6 = 6x⁰y⁰z⁰v⁰…y el grado de 6 sigue siendo cero (0 + 0 + 0 + 0 = 0).

Así, el grado de 8, como también el grado de - 5, es cero.

El grado de cero usualmente no se define, pero en algunos textos, ciertos autores definen el grado de cero como igual a menos infinito (- ∞). Tiene su lógica: cuando se afirma, por ejemplo, que el grado de un producto de polinomios es la suma de los grados de ambos factores polinomios; si un factor es cero, el grado del producto es de nuevo el grado de cero, y definiéndolo como menos infinito, no haría falta hacer excepciones en el enunciado de ese sencillo teorema. Pero no es una definición unánimemente adoptada.

En el término 7x el grado (en x) es 1, pues x = x¹. Pero el grado en z es cero, pues no aparece z.

Se define el grado de un polinomio entero como el grado del término que lo tenga mayor.

Por ejemplo, en el polinomio x² - 3y³ + 5x²yz el grado en x, y, z es 4

(pues el tercer término tiene grado 2 + 1 + 1);

pero el grado en x,y es 3, por el término segundo, o también por el tercero (5x²yz), que considerando solo como indeterminadas a x, y, tiene grado 2 + 1 = 3.

El grado del mismo polinomio en x, z es 3, por el término tercero (5x²yz) de grado 2+1 en x, z.

El grado de este mismo polinomio en y, z es 3 por el segundo término -3y³ de tercer grado.

El grado en x es 2, el grado en y es 3 y el grado en z es 1 (por el término 5x²yz, de primer grado en z).

Si no se especifica cuáles son las indeterminadas respecto a las que se refiere el grado de un polinomio, se sobrentiende que se considera el grado total, suponiendo todas las letras como variables o indeterminadas.

En x + y - 3z + 8 el grado es 1, por cualquiera de los términos primero, segundo o tercero. El término independiente (8) es de grado cero, pero el polinomio es de grado 1.

Pues bien, una vez comprendida la definición de grado de un polinomio (entero, es decir, suma de monomios con exponentes naturales ≥ 0 y coeficientes en un campo o en un anillo cconmutativo), se define:

DEFINICIÓN: Un polinomio entero es homogéneo cuando (y solo cuando) todos sus términos son del mismo grado.

Por tanto, el polinomio xyz - 2 y²z + 3 x z² - 4z³ es homogéneo de tercer grado en x, y, z; pero no es un polinomio homogéneo considerado como polinomio en x, y ; puesto que, por ejemplo, el primer término xyz es de segundo grado en x, y, mientras que el tercer témino, - 4z³, es de grado cero respecto de x, y.

Pues bien, se llama ecuación homogénea a una ecuación polinómica del tipo

P(x,y,z,u,v…) = 0 ,

en una o varias variables, en la que el polinomio P del primer miembro es homogéneo con respecto a todas las incógnitas (las indeterminadas cuyo valor se busca, en el caso de las ecuaciones, se suelen llamar incógnitas).

En las ecuaciones de primer grado -o lineales- es costumbre pasar los términos conocidos (o también llamados independientes) al segundo miembro.

Por tanto, la ecuación ax + by + cz = d es de primer grado (en x,y,z), siendo a,b,c,d parámetros cualesquiera, es decir, "números" o elementos del cuerpo base o del anillo base; y también es de primer grado (en x, y, z) la ecuación a² x +b³ y + c⁴ z = d⁷.

Los parámetros, empleados como coeficientes, no se contabilizan al calcular el grado de un término: solo se consideran los exponentes de las incógnitas.

Sin embargo, la ecuación de primer grado (o lineal) ax + by + cz = d no es homogénea, si d ≠ 0,

porque el grado de ax es 1, mientras que el grado de "d" es cero.

Por esa razón, un sistema (lineal o no) se llama homogéneo cuando todas sus ecuaciones constituyentes son homogéneas; por tanto, un sistema como

3x - 5y + 7z = 4

9x - 11y + 4z = 0

14x - 17y - 21z = 0

no es homogéneo, porque son homogéneas las dos últimas ecuaciones pero no la primera.

Para que un sistema lineal sea homogéneo todos los términos independientes han de ser nulos.

Porque en caso contrario, si algún término independiente no es cero, su grado será cero, mientras que los términos que contienen las incógnitas son de grado 1, y así ya la ecuación correspondiente y todo el sistema entero no serían homogéneos.

Un sistema lineal homogéneo sería, por ejemplo:

6x - 5y + 3z - 4u = 0

5x + 7y + 9z - u = 0

x+ y - 3u = 0.

Pero si uno solo (o más de uno) de los términos independientes fuera distinto de cero, el sistema seguiría siendo lineal, pero no homogéneo.

Queda, por tanto, respondida la pregunta.