¿Se podría encontrar un método más rápido que el de Gauss-Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales?

La respuesta correcta depende mucho de la estructura del sistema de ecuaciones lineales que trates de resolver. No hay un método único que sea superior a todos los demás. En algunos casos es preferible, por ser más seguro, exacto y rápido, el clásico de Gauss-Jordan, en otros, no. En términos prácticos, hay dos grupos de técnicas generales: métodos directos y métodos iterativos.

Los métodos directos resuelven el sistema lineal mediante eliminación Gaussiana, porque es un proceso de lo más estable y confiable en matrices llenas y mal condicionadas; en inglés se les llama “ill conditioned systems”. Los métodos directos son los más rápidos en problemas diferenciales en 1D y 2D, pero requieren grandes cantidades de datos almacenados en la memoria de la computadora en cada cálculo. Si el problema es en 3D el volumen de almacenamiento se incrementa mucho y se requieren tiempos de cálculo igualmente grandes, a veces de horas o días efectivos, dependiendo de la máquina empleada. Como ejemplos de métodos directos están el clásico de determinantes, el de Choleski, el de Gauss-Jordan, así como los de matrices en bandas.

Los métodos iterativos se aplican sistemáticamente, porque son más eficientes, a matrices dispersas (con muchos ceros) y a problemas diferenciales en 3D. Los iterativos usan mucho menos memoria para almacenar datos y son más rápidos en 3D. Sin embargo, para hacerlos óptimos, se requiere una elección cuidadosa del precondicionador más adecuado. Como ejemplos de técnicas iterativas están los clásicos de Gradiente Conjugado, GMRES y FGMRES, así como BICGStab y Geometric Multigrid. Cada uno de los cuales puede tener variantes como por ejemplo descomposición LU incompleta, escalamiento diagonal (Jacobi), etc.