¿Algún ejemplo de cómo resolver un sistema de 'n' ecuaciones con 'n' variables usando matriz inversa o determinantes?

n = 2

Un sistema de 2 ecuaciones con dos variables, se puede representar como:

a1x+b1ya2x+b2y=c1=c2a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

Esto es:

[a1a2]x+[b1b2]y=[c1c2][a1a2]x+[b1b2]y=[c1c2]

Por lo que se puede formar la siguiente ecuación matricial:

Problema:

[a1a2b1b2][xy]=[c1c2][a1b1a2b2][xy]=[c1c2]

Solución:

Y cuya solución en forma matricial usando matriz inversa es:

[xy]=[a1a2b1b2]−1[c1c2][xy]=[a1b1a2b2]−1[c1c2]

Es decir, todo se reduce a hallar la matriz inversa del sistema.

Si llamamos: detS=|S|detS=|S| al determinante del sistema, es decir:

|S|=∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣|S|=|a1b1a2b2|

Para el caso sencillo, de una matriz de 2 x 2, la matriz inversa en forma explícita , es de la siguiente forma:

[a1a2b1b2]−1=1|S|[b2−a2−b1a1][a1b1a2b2]−1=1|S|[b2−b1−a2a1]

Por lo tanto la solución es:

[xy]=1|S|[b2−a2−b1a1][c1c2][xy]=1|S|[b2−b1−a2a1][c1c2]

La expresión anterior es una forma compacta de escribir la siguiente expresión desarrollada para cada variable:

x=∣∣∣c1c2b1b2∣∣∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣y=∣∣∣a1a2c1c2∣∣∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣x=|c1b1c2b2||a1b1a2b2|y=|a1c1a2c2||a1b1a2b2|

Ejemplo: Resolver por determinantes

5x+4y2x+3y=22=135x+4y=222x+3y=13

Esto es:

[5243][xy]=[2213][5423][xy]=[2213]

Todo el mundo sabe resolver este sencillo caso de un sistema de ecuaciones de dos variables. Existen los métodos de: Reducción, sustitución e igualación de variables, además del método por determinantes que para este caso específico se expresa como:

x=∣∣∣221343∣∣∣∣∣∣5243∣∣∣y=∣∣∣522213∣∣∣∣∣∣5243∣∣∣x=|224133||5423|y=|522213||5423|

Resolviendo los determinantes, se obtiene la solución para las variables 'x' e 'y'.

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No es la única notación para un sistema de dos ecuaciones con dos variables, ya que también se puede emplear la siguiente notación para expresar lo mismo:

a11x1+a12x2a21x1+a22x2=c1=c2a11x1+a12x2=c1a21x1+a22x2=c2

Es decir usando la notación x1x1 , x2x2 para las incógnitas en lugar de la notación habitual de usar 'x' e 'y'.

Esto es:

[a11a21]x1+[a12a22]x2=[c1c2][a11a21]x1+[a12a22]x2=[c1c2]

Problema:

Por lo que se puede formar la siguiente ecuación matricial:

[a11a21a12a22][x1x2]=[c1c2][a11a12a21a22][x1x2]=[c1c2]

Solución:

Y cuya solución en forma matricial usando matriz inversa es:

[x1x2]=[a11a21a12a22]−1[c1c2][x1x2]=[a11a12a21a22]−1[c1c2]

Si llamamos: detA=|A|detA=|A| al determinante del sistema, es decir el determinante de la matriz AA, se tiene:

|A|=∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣|A|=|a11a12a21a22|

Para el caso sencillo, de una matriz de 2 x 2 la matriz inversa en forma explícita , usando esta notación, es de la siguiente forma:

[a11a21a12a22]−1=1|A|[a22−a21−a12a11][a11a12a21a22]−1=1|A|[a22−a12−a21a11]

Por lo tanto la solución es:

[xy]=1|A|[a22−a21−a12a11][c1c2][xy]=1|A|[a22−a12−a21a11][c1c2]

Ejemplo: Resolver usando matriz inversa

5x1+4x22x1+3x2=22=135x1+4x2=222x1+3x2=13

Expresado en notación matricial:

Sistema:

[5243][x1x2]=[2213][5423][x1x2]=[2213]

Solución:

Ahora, el método que se va a resolver en este apartado es por matriz inversa que consiste en hallar la ( matriz ) transpuesta de la matriz de cofactores.

[x1x2]=[5243]−1[2213][x1x2]=[5423]−1[2213]

En forma explícita:

[x1x2]=17[3−2−45][2213][x1x2]=17[3−4−25][2213]

Que es lo mismo que usar el método por determinantes, para resolver un sistema de ecuaciones de 2 variables, solo que expresado de otro modo.

x1=∣∣∣221343∣∣∣∣∣∣5243∣∣∣x2=∣∣∣522213∣∣∣∣∣∣5243∣∣∣x1=|224133||5423|x2=|522213||5423|

Resolviendo, tanto por el método de matriz inversa, así como el método usando determinantes se obtienen los valores para las variables:

x1x1 = x =[ (3)(22) + (-4)(13) ] / (7) = 2

x2x2 = y =[ (-2)(22) + (5)(13) ] / (7) = 3

Expresado como un vector columna:

[x1x2]=[23][x1x2]=[23]

O también:

[xy]=[23][xy]=[23]

n = 3

Repaso de cofactores:

Para una matriz de orden 3 x 3 de la forma:

[A]=⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥[A]=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]

Se define los cofactores de los elementos de la matriz del siguiente modo:

El Menor complementario o Menor de un elemento aijaij de una matriz [ A ] es el determinante de la matriz que queda, luego de eliminar la fila y columna en donde se encuentra dicho elemento aijaij y se denota como |Aij||Aij|

Un cofactor de un elemento aijaij de una matriz se denota como cf(aij)cf(aij) El signo del cofactor está determinado por la suma del número de fila y columna en donde se encuentra el elemento aijaij. Si es par es positivo, si es impar es negativo. Un cofactor de un elemento de una matriz se calcula como:

cf(aij)=(−1)i+j|Aij|cf(aij)=(−1)i+j|Aij|

Donde: |Aij||Aij| es el determinante de la matriz que queda luego de eliminar la fila y columna en donde se encuentra el elemento aijaij ; lo que algunos llaman el Menor complementario o Menor de un elemento de una matriz.

Ejemplo: Repaso de Cofactores

Sistema de 3 ecuaciones con 3 variables:

Ahora si, reservando la letra cc, para indicar las constantes. Para un sistema de tres ecuaciones con tres variables. El sistema puede escribirse como:

a1x+b1y+d1za2x+b2y+d2za3x+b3y+d3z=c1=c2=c3a1x+b1y+d1z=c1a2x+b2y+d2z=c2a3x+b3y+d3z=c3

Esto es:

⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥x+⎡⎣⎢b1b2b3⎤⎦⎥y+⎡⎣⎢d1d2d3⎤⎦⎥z=⎡⎣⎢c1c2c3⎤⎦⎥[a1a2a3]x+[b1b2b3]y+[d1d2d3]z=[c1c2c3]

Por lo que se puede expresar en forma matricial como:

⎡⎣⎢a1a2a3b1b2b3d1d2d3⎤⎦⎥⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=⎡⎣⎢c1c2c3⎤⎦⎥[a1b1d1a2b2d2a3b3d3][xyz]=[c1c2c3]

Y la solución se puede escribir como:

⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥=⎡⎣⎢a1a2a3b1b2b3d1d2d3⎤⎦⎥−1⎡⎣⎢c1c2c3⎤⎦⎥[xyz]=[a1b1d1a2b2d2a3b3d3]−1[c1c2c3]

Si llamamos: detS=|S|detS=|S| al determinante del sistema, es decir:

|S|=∣∣∣∣a1a2a3b1b2b3d1d2d3∣∣∣∣|S|=|a1b1d1a2b2d2a3b3d3|

Calculando los cofactores, como se explicó al inicio, los cofactores para esta matriz son de manera literal:

Los cofactores de a1,a2,a3a1,a2,a3 son respectivamente:

cf(a1)=+∣∣∣b2b3d2d3∣∣∣=+(b2d3−b3d2)cf(a1)=+|b2d2b3d3|=+(b2d3−b3d2)

cf(a2)=−∣∣∣b1b3d1d3∣∣∣=−(b1d3−b3d1)cf(a2)=−|b1d1b3d3|=−(b1d3−b3d1)

cf(a3)=+∣∣∣b1b2d1d2∣∣∣=+(b1d2−b2d1)cf(a3)=+|b1d1b2d2|=+(b1d2−b2d1)

Siguiendo con la otra terna de elementos. Los cofactores de b1,b2,b3b1,b2,b3 son respectivamente:

cf(b1)=−∣∣∣a2a3d2d3∣∣∣=−(a2d3−a3d2)cf(b1)=−|a2d2a3d3|=−(a2d3−a3d2)

cf(b2)=+∣∣∣a1a3d1d3∣∣∣=+(a1d3−a3d1)cf(b2)=+|a1d1a3d3|=+(a1d3−a3d1)

cf(b3)=−∣∣∣a1a2d1d2∣∣∣=−(a1d2−a2d1)cf(b3)=−|a1d1a2d2|=−(a1d2−a2d1)

Finalmente. Los cofactores de d1,d2,d3d1,d2,d3 son respectivamente:

cf(d1)=+∣∣∣a2a3b2b3∣∣∣=+(a2b3−a3b2)cf(d1)=+|a2b2a3b3|=+(a2b3−a3b2)

cf(d2)=−∣∣∣a1a3b1b3∣∣∣=−(a1b3−a3b1)cf(d2)=−|a1b1a3b3|=−(a1b3−a3b1)

cf(d3)=+∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣=+(a1b2−a2b1)cf(d3)=+|a1b1a2b2|=+(a1b2−a2b1)

La matriz inversa es la ( matriz ) transpuesta de la matriz de cofactores dividido entre el determinante de la matriz. En otras palabras es la adjunta de una matriz dividida entre su determinante. Entonces para el caso de una matriz de 3 x 3, la matriz inversa en forma explícita , es de la siguiente forma:

⎡⎣⎢a1a2a3b1b2b3d1d2d3⎤⎦⎥−1=1|S|⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢+∣∣∣b2b3d2d3∣∣∣−∣∣∣a2a3d2d3∣∣∣+∣∣∣a2a3a2b3∣∣∣−∣∣∣b1b3d1d3∣∣∣+∣∣∣a1a3d1d3∣∣∣−∣∣∣a1a3b1b3∣∣∣+∣∣∣b1b2d1d2∣∣∣−∣∣∣a1a2d1d2∣∣∣+∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[a1b1d1a2b2d2a3b3d3]−1=1|S|[+|b2d2b3d3|−|b1d1b3d3|+|b1d1b2d2|−|a2d2a3d3|+|a1d1a3d3|−|a1d1a2d2|+|a2a2a3b3|−|a1b1a3b3|+|a1b1a2b2|]