¿Qué otros métodos diferentes al de igualación, reducción, determinantes, y sustitución se conocen para resolver un sistema de ecuaciones 3x3 y...

1) El método de los factores indeterminados. No solo sirve para sistemas (determinados) de ecuaciones lineales 3x3, o 4x4, sino para todo sistema determinado nxn (n>1). Es un método muy laborioso y no es recomendable como método práctico, pero guarda una sorpresa interesante sobre la historia de las matemáticas…

Para no llenar todo de subíndices, pongamos un ejemplo numérico concreto, se entenderá igualmente y será más ágil la exposición:

4x - 3y + 2z = 8

3x + 2y - 11z = 2

5x - y - 9z = 4.

Se multiplica la primera ecuación por un factor indeterminado, llamémoslo f₁, la segunda por otro factor, sea f₂ y la tercera por otro factor, sea f₃ y sumémoslas todas:

f₁(4x - 3y + 2z) + f₂ (3x + 2y - 11z) + f₃ (5x - y - 9z) = 8f₁ + 2f₂ + 4f₃

Agrupando x, y, z:

(4f₁+3f₂+5f₃) x + (-3f₁+2f₂-f₃) y + (2f₁-11f₂-9f₃) z = 8f₁+2f₂+4f₃ (*)

El viejo método de factores indeterminados elimina simultáneamente todas las incógnitas menos una; solo necesitamos, si queremos despejar x, por ejemplo, anular los coeficientes de las demás incógnitas, en este caso y , z.

Así pues, necesitamos para ello resolver el sistema auxiliar:

-3f₁+2f₂-f₃ = 0

2f₁-11f₂-9f₃= 0 (**)

Por haber 3 incógnitas con solo dos ecuaciones, podemos asignar un valor a una de ellas, y quedarnos con un sistema 2x2; por ejemplo, f₃ se considera conocida (al final le asignaremos un valor numérico conveniente). Resulta:

-3f₁+2f₂ = f₃

2f₁-11f₂ = 9f₃ (***). Tenemos así un sistema con una incógnita menos, que se puede resolver por cualquier método; pero probemos con el mismo método: multipliquemos las dos ecuaciones de este último sistema por los factores indeterminados k₁ y k₂ y sumemos:

k₁(-3f₁+2f₂)+ k₂(2f₁-11f₂) = k₁f₃ + 9k₂f₃ (&). Agrupando:

(-3k₁+2k₂) f₁ + (2k₁-11k₂) f₂ = k₁f₃ + 9k₂f₃ ;

para calcular f₁, por ejemplo, anulemos el coeficiente de f₂:

2k₁ - 11k₂ = 0 → k₂ = 2k₁/11; puesto que k₁ queda libre, asignémosle el valor arbitrario k₁ = 11 → k₂ = 2, lo que nos da, sustituyendo en (***):

-5f₁= 15f₃ + 10f₃ → f₁ = -5f₃ ;

sustituyendo los valores de k₁ y k₂ en (&), en la primera ecuación:

(-3k₁+2k₂) f₁ + (2k₁-11k₂) f₂ = k₁f₃ + 9k₂f₃ → -29f₁ = 11f₃ + 18f₃ ; f₁ = -f₃

Ahora en la primera ecuación de (***) obtenemos f₂ ;

-3f₁+2f₂ = f₃ → 2f₂ = f₃ + 3f₁ = f₃ - 3f₃ = -2f₃ → f₂ = -f₃

f₁ = -f₃ ; f₂ = -f₃ ; asignando libremente el valor f₃ = 1 →

f₁ = -1 ; f₂ = -1 ; f₃=1 ; volviendo ahora al sistema inicial:

4x - 3y + 2z = 8

3x + 2y - 11z = 2

5x - y - 9z = 4.

Multiplicamos ambos miembros de la primera ecuación por -1, los de la segunda por -1, los de la tercera por 1 y sumamos las tres miembro a miembro:

-1(4x - 3y + 2z) -1(3x + 2y - 11z) + 1(5x - y - 9z) = -1*8–1*2+1*4 →

-2x = -6 → x = 3; del mismo modo (muy laborioso) podríamos calcular y, z, y obtendríamos:

y = 2 ; z = 1.

Ahora viene la sorpresa: el método quedó obsoleto cuando se descubrieron los determinantes, porque los misteriosos factores indeterminados necesarios son justamente los determinantes adjuntos de los coeficientes de una misma incógnita en la matriz del sistema, o cualesquiera números proporcionales a ellos (¡¡Sorprendente!!). Supongamos que el lector conoce los determinantes, aunque sea de manera muy básica.

En el caso del sistema dado, volvemos a copiarlo:

4x - 3y + 2z = 8

3x + 2y - 11z = 2

5x - y - 9z = 4

La matriz A del sistema es el cuadro de los coeficientes:

// 4 -3 2 //

// 3 2 -11 //

// 5 -1 -9 // . Si queremos calcular x, por ejemplo, los factores indeterminados serán los determinantes adjuntos de los coeficientes de x, que van en la primera columna, o sea, (4 ↓ 3 ↓5) (primera columna).

Luego serán:

ADJ (4) =

// 2 -11 //

// -1 -9 // = 2 * (-9) - (-1) * (-11) = -18 - 11 = -29

-ADJ (3) =

// -3 2 //

// -1 -9 // = (-3) * (-9) - (-1) *2 = 27+2 = 29

ADJ (5) =

// -3 2 //

// 2 -11 // = (-3) * (-11) - 2 * 2 = 33 - 4 = 29 → los factores serán, pues:

-29 , -29, 29, o cualesquiera tres números proporcionales, por lo cual podemos multiplicar o dividir estos tres números por cualquier número real (o incluso por cualquier número complejo) distinto de cero. Evidentemente podemos dividir por 29 y nos salen los factores indeterminados : -1, -1, 1 → ellos nos proporcionarán el valor de x, como antes vimos.

Análogamente, los adjuntos de la segunda columna (-3 ↓ 2 ↓ -1) nos darían el valor de y, y los adjuntos de la tercera (2 ↓ -11 ↓ -9) darían los valores de z.

Si se efectúan estos cálculos con un sistema nxn (determinado) se llega a las fórmulas de Cramer, o Regla de Cramer, debida a Gabriel Cramer (1704–1752), que es un clásico de la teoría de determinantes, y que hoy en día se estudia en todos los cursos de álgebra lineal.

A decir verdad, antes de que Cramer publicara su regla, apareció en el Treatise of Algebra de Maclaurin (1748), publicado dos años después de la muerte de su autor. Se cree que incluso en 1729 ya podía conocer esa regla Maclaurin (consúltese a este respecto el clásico libro de Carl B. Boyer, A History of Mathematics (2ª edición, John Wiley & Sons).

La atribución de autorías siempre es un problema, sobre todo desde el siglo XVIII hacia atrás; tampoco la primera publicación de un descubrimiento significa que se haya descubierto ese mismo año, así que también Cramer pudo conocer la regla antes que Maclaurin y esperar a publicarla años después…

Pero, en cualquier caso, el viejo método de los factores indeterminados fue una buena inspiración en los primeros pasos de la teoría de los determinantes y los sistemas de ecuaciones lineales, para cuya resolución directa -y no paso a paso- se definieron o acaso mejor dicho, se inventaron los determinantes, aunque después se vio el enorme alcance y variadas aplicaciones de este algoritmo, a través de los primeros matemáticos que los investigaron y definieron (Leibniz, Laplace, Maclaurin, Cramer, Cauchy, Lagrange, Vandermonde, Frobenius…y tantos otros).

2) La Regla de Cramer, ya comentada, la teoría general de los determinantes y el Teorema de Rouché - Frobenius (llamado por los autores rusos clásicos Teorema de Kronecker-Capelli) son tal vez los métodos teóricos más potentes y generales para eliminar incógnitas en sistemas lineales (y aún en los sistemas de ecuaciones polinómicas no lineales), lo que no significa, por supuesto que sean los más rápidos en la práctica. En análisis numérico se estudian métodos más eficaces cuando hay muchas incógnitas y son fácilmente programables, como el conocido método de eliminación de Gauss-Jordan para eliminar incógnitas en los sistemas lineales, que se basa en el método de reducción levemente modificado.