¿Cómo se pueden resolver las ecuaciones de 3er grado o superiores donde hay ceros irracionales y no se pueden usar los métodos enteros y racionales...

Esa pregunta fue el caballo de batalla del álgebra desde la Edad Media hasta el siglo XX, y la solución fue agridulce: cuando hay fórmulas (en muy pocas ocasiones), casi siempre son tan complicadas que no suelen ser útiles en cuanto al cálculo numérico, pero sí que son útiles -teóricamente- si necesitas la expresión exacta de las raíces del polinomio.

Solo puedes estar seguro de que hay fórmulas con un número finito de radicales y un número finito de operaciones racionales cuando las ecuaciones son de tercero o cuarto grado. Y en ese caso, frecuentemente aparecen números imaginarios como radicandos de radicales cúbicos, que producen valores reales pero no hay forma algebraica de eliminarlos, salvo emplear funciones trigonométricas; con lo que se renuncia, de hecho, a obtener expresiones algebraicas propiamente dichas.

A partir del quinto grado en adelante, lo "normal" es que las raíces no puedan expresarse por radicales (sí por funciones elípticas, no algebraicas, en el caso de la ecuación quíntica general, claro está, pero ésa es otra historia de "terror"), aunque hay excepciones; éstas pueden ser de dos tipos:

1) Ecuaciones reducibles resolubles algebraicamente

y

2) Ecuaciones irreducibles resolubles algebraicamente.

Las primeras no tienen misterio, solo que es muy laborioso probar si son o no reducibles: Lagrange dio métodos exactos y seguros para descomponer un polinomio de coeficientes racionales en factores de coeficientes racionales siempre que fuera posible, y también Kronecker dio un método para descomponer un polinomio de cualquier grado en x con coeficientes racionales en producto de otros polinomios de grado inferior cuando sea posible, o demostrar que es imposible esa descomposición; sin embargo, llevarlos a cabo es una tortura finita (pero si te dan un nº finito de palos…pueden ser muchos palos…).

Por ejemplo, la ecuación:

x⁷+8x⁶+6x⁵-15x⁴+12x³-27x²+x-21=0

es un bonito dolor de cabeza si no "adviertes" que es reducible de este modo:

(x³+2x²-x+3) (x⁴+6x³-5x²-2x-7) = 0,

lo cual conduce a su descomposición en estas otras dos, que contienen todas y las únicas raíces de la ecuación de séptimo grado inicial:

x³+2x²-x+3 = 0

x⁴+6x³-5x²-2x-7 = 0;

y dado que ambas son resolubles por radicales, la ecuación de séptimo grado propuesta, sorprendentemente, es resoluble por radicales. Las raíces de la ecuación cúbica son una real (negativa) y dos imaginarias conjugadas; y las de la ecuación cuártica son dos reales (una positiva y otra negativa) y dos imaginarias conjugadas, y todas ellas expresables por radicales.

Averiguar que la ecuación era descomponible en factores de coeficientes racionales lleva su trabajo…Claro, que si lo tecleas en Wolfram Alpha te lo descompone en un toque de tecla, por supuesto.

Produce escalofríos leer las luchas de los grandes matemáticos del pasado para resolver "exactamente" (o mejor expresado, algebraicamente) las ecuaciones algebraicas. Lagrange, por ejemplo, empleó un método correctísimo para descubrir los factores trinomios cuadráticos, con raíces reales, en aquellos casos en que la ecuación propuesta los admite, y lo cuenta en su maravillosa memoria:

TRAITÉ DE LA RÉSOLUTION DES EQUATIONS NUMÉRIQUES DE TOUS LES DEGRÉS

Consistía tal método en desarrollar todas las raíces reales de una ecuación con coeficientes enteros en fracción continua simple (infinita, si hemos suprimido las raíces racionales previamente). Por tanto, si aparecía una fracción continua periódica, por su teorema (demostrado por primera vez por este gran matemático francés), debe representarse exactamente como irracional cuadrático, y eso determina que también es raíz su "conjugada" (no en el sentido de los números complejos, sino en el de los irracionales cuadráticos, donde la conjugada de a+b√ R se define como a-b√ R, con R racional positivo y no cuadrado perfecto).

Pero la aplicación práctica de este algoritmo hace crecer los datos de manera extraordinaria hasta llegar a manejar enteros de tantas cifras que es penosísimo el cálculo y aún sin la garantía de que se va a obtener alguna raíz irracional cuadrática simple, es decir, de la forma p+q √ R, aunque, si existe, el método la saca a flote con toda seguridad. De esta manera Lagrange podía identificar los factores cuadráticos comprensivos de cada dos raíces irracionales cuadráticas conjugadas, lo que le permitía despojar la ecuación propuesta de tal clase de raíces, es decir:

[x-(p+q √ R)] * [x-(p-q √ R)] = x²-2px+(p²-Rq²) sería un factor cuadrático del polinomio dado, y por tanto el grado de la ecuación inicial podría rebajarse en dos unidades, dividiendo su primer miembro por este trinomio cuadrático.

En el caso de las ecuaciones irreducibles de grado superior al cuarto, pero resolubles algebraicamente, pueden encontrarse infinitos ejemplos, pero siguen siendo la excepción y no la regla.

Ejemplo: una ecuación quíntica irreducible, y no binomia, resoluble algebraicamente.

Si tomamos x=u+v, recordando el artificio que conduce a la fórmula de Cardano para las ecuaciones cúbicas (que al parecer es del holandés Jan Hudde, 1633–1704, o al menos es el que primero lo publicó, según los datos conocidos por ahora), y extrapolando la manipulación de los cubos al caso de las quintas potencias tenemos:

x³= (u³+v³)+3uv(u+v) → u³+v³=x³-3uvx

x⁵=(u⁵+v⁵) + 5uv (u³+v³) + 10u²v²(u+v) →

x⁵=(u⁵+v⁵) + 5uv (x³-3uvx) + 10u²v²x →

x⁵-5uv x³+ 5u²v² x - (u⁵+v⁵) = 0. Representando uv=p, q= u⁵+v⁵, será:

x⁵-5px³+5p²x-q=0 → ECUACIÓN DE QUINTO GRADO IRREDUCIBLE (si no tiene raíces racionales, siendo p y q racionales ) Y RESOLUBLE POR RADICALES (en general pueden ser p y q complejos cualesquiera, incluyendo el caso en que sean ambos reales, con q≠0, para que no sea trivialmente reducible al cuarto grado).

De hecho, las fórmulas de resolución son análogas a las de Cardano para la ecuación cúbica:

Elevando a la quinta potencia → u⁵v⁵=p⁵ , u⁵+v⁵=q, sabemos la suma y el producto de u⁵ y v⁵, luego serán las raíces de la ecuación cuadrática z²-qz+p⁵=0; por simetría podemos tomar u⁵= q/2 + √ (q²/4-p⁵); v⁵ = q/2 - √ (q²/4-p⁵), se obtiene para raíces de la ecuación quíntica:

x₁ = ⁵√ [ q/2 + √ (q²/4-p⁵)] + ⁵√ [ q/2 - √ (q²/4-p⁵)]

(suponiendo que los valores de ambos radicales quínticos tienen su producto = p, lo que es siempre posible escogiéndolos adecuadamente; por ejemplo, el primero, u, se toma libremente y para el segundo, v, se toma p/u).

x₂ = θ ⁵√ [ q/2 + √ (q²/4-p⁵)] + θ⁴ ⁵√ [ q/2 - √ (q²/4-p⁵)]

x₃ = θ² ⁵√ [ q/2 + √ (q²/4-p⁵)] + θ³ ⁵√ [ q/2 - √ (q²/4-p⁵)]

x₄ = θ³ ⁵√ [ q/2 + √ (q²/4-p⁵)] + θ² ⁵√ [ q/2 - √ (q²/4-p⁵)]

x₅ = θ⁴ ⁵√ [ q/2 + √ (q²/4-p⁵)] + θ ⁵√ [ q/2 - √ (q²/4-p⁵)],

siendo θ cualquier raíz quinta imaginaria de la unidad , es decir, cualquier raíz imaginaria de z⁵=1; por ejemplo, θ = φ/2 + √(φ²/4 -1), donde φ es el inverso del número áureo, es decir, φ = (√5–1)/2.

Respecto a las ecuaciones de sexto grado o superior, con coeficientes racionales, se pueden encontrar también ejemplos de ecuaciones irreducibles, no binomias, resolubles algebraicamente, de cualquier grado: por ejemplo, existen ecuaciones sépticas (nombre de doble sentido, porque es tremendo el cálculo en el que nos embarra) irreducibles y resolubles por radicales.

En definitiva, mejor considéralo como un problema que hizo evolucionar a la matemática y llegar a la preciosa teoría de Galois y al álgebra abstracta, pero como métodos prácticos, simplemente lo que pides, en general, NO EXISTE.

Otra cosa completamente distinta es la resolución numérica, que realmente no es "resolver" la ecuación, desde el punto de vista teórico, sino aproximar sus raíces tanto como se quiera, y averiguar su naturaleza (si son reales o imaginarias, simples o múltiples…etc.). Eso sí que es posible y lo pueden hacer hoy día a golpe de tecla todos los ordenadores con software adecuado; entre las herramientas online, Wolfram Alpha, por ejemplo, resuelve numéricamente "cualquier" ecuación polinómica con coeficientes racionales (dentro de ciertos límites amplios para el tamaño del grado y de los coeficientes).

Antes de la informática era posible la resolución numérica (incluso desde el siglo XIX), pero con una cantidad de trabajo extraordinaria: para ello se empleaban varios métodos, en particular el potente método de Gräffe, que se programa ahora cómodamente en los rápidos ordenadores actuales.