¿Cómo se puede añadir una ecuación al sistema: 2x - y + 2z = 1; x + y - z = 3 para que sea incompatible? ¿Cómo puedo añadir una ecuación para que...

Hay una manera muy fácil y directa: tomas una combinación lineal arbitraria de las dos primeras ecuaciones, por ejemplo

7(2x - y + 2z) - 4(x + y - z) = 7*1 - 4*3 → 10 x - 11y + 18z = -5 (*)

Es decir, si ciertos valores de x, y , z, cumplen las dos ecuaciones, el segundo miembro de la combinación lineal (*) debe ser -5. Pues bien, vas y lo CAMBIAS a cualquier otro número:

Por ejemplo, 10 x - 11y + 18z = 4; si adjuntas esta ecuación a las dos que has señalado te sale un sistema incompatible, evidentemente, puesto que si tuviera solución, sería

10 x - 11y + 18z = -5, y nunca -al mismo tiempo- podría ser 10 x - 11y + 18z = 4.

Para que sea compatible y determinado, resuelves el sistema inicial tomando una de las incógnitas como conocida:

2x - y = 1 - 2z ; x + y = 3 + z → x = (4 - z) / 3 ; y = (5 + 4z) / 3.

Asignamos a z un valor arbitrario, por ejemplo, z = 1 → x = 1 ; y = 3; ahora tomas los coeficientes que quieras, por ejemplo, 5x - 2y + 9z = … y calculas el valor de este trinomio para la solución encontrada:

5x - 2y + 9z = 8 → el sistema 2x - y + 2z = 1 ; x + y -z = 3 ; 5x - 2y + 9z = 8 es compatible y determinado; su solución es x = 1 ; y = 3; z = 1.

Este método es muy práctico pero no absolutamente seguro; ahora bien, tendrías que tener muy mala suerte para haber elegido los coeficientes y el término independiente de la tercera ecuación de modo que determinaran una combinación lineal de las dos ecuaciones previas; probando con otra elección, hallarías casi seguro una solución.

Ahora bien, si ya quieres ser absolutamente riguroso, y no depender de la "suerte" (la probabilidad de que falle el método anterior es CERO, aunque puede fallar…), entonces pones los coeficientes como parámetros:

2x - y + 2z = 1 ; x + y -z = 3 ; ax + by + cz = d

Y eliges a, b, c arbitrariamente, pero de modo que satisfagan la condición de que el determinante del sistema sea distinto de cero:

|2 -1 2|

|1 1 -1|

|a, b, c| → ese determinante es -a + 4b + 3c ≠ 0 → a ≠ 4b + 3c

Ahora asignas valores libremente a b y c → (ejemplo) b =5 ; c = -3 → a ≠ 11; por ejemplo , a = 10, y

ahora es COMPLETAMENTE SEGURO que el sistema:

2x - y + 2z = 1 ; x + y -z = 3 ; ax + by + cz = d , esto es,

2x - y + 2z = 1 ; x + y -z = 3 ; 10x + 5y - 3z = d es compatible y determinado para cualquier valor del término independiente d.