¿Cuál es la fórmula general para resolver una ecuación cúbica?

La fórmula de Cardano resuelve algebraicamente la ecuación cúbica reducida,

x³ + px + q = 0, con p y q números complejos cualesquiera

(en particular, pueden ser p y q reales, por supuesto).

En general, podemos reducir cualquier ecuación polinómica de grado n a otra del mismo grado, pero sin el segundo término, el de grado n-1 ; en el caso de la ecuación cúbica, podemos eliminar el término cuadrático con un sencillo cambio de variable lineal, es decir, de primer grado. En efecto, sea la ecuación cúbica general:

az³+bz²+cz+d=0 ; (1),

donde los coeficientes a,b,c,d son cualesquiera números complejos (pueden ser reales, ese caso está incluído, pues R ⊂ C ), y a≠0 (si a=0 la ecuación no sería de tercer grado).

Multiplicando todos los términos por la constante 27a² para que el primer término sea cubo perfecto, obtenemos:

27a³z³ + 27a²bz² + 27a²cz + 27a²d = 0 ; (2) .

Si desarrollamos (3az+λ)³ = 27a³z³ + 27a²λz² + 9aλ²z + λ³.

Para que sea 27a²λz² ≡ 27a²bz² → λ = b; tomando este valor para λ, (2) se reduce a:

(3az+b)³ - 9ab²z - b³ + 27a²cz + 27a²d = 0 →

(3az+b)³ - 9ab² * (3az/3a) -b³ + 27a²c * (3az/3a) + 27a²d = 0 →

(3az+b)³ - 3b² * 3az -b³ + 9ac * 3az + 27a²d = 0 →

(3az+b)³ - 3b² * (3az +b) +3b³ - b³ + 9ac * (3az +b) - 9abc + 27a²d = 0 →

(3az+b)³ + (9ac - 3b² ) (3az +b) + (2b³- 9abc + 27a²d) = 0.

Si representamos los coeficientes por p, q :

p = 9ac - 3b² , q = 2b³- 9abc + 27a²d →

(3az+b)³ + p (3az +b) + q = 0 ; el cambio de variable x = 3az +b transforma la ecuación cúbica general (1) en la llamada ecuación cúbica reducida :

x³ + px + q = 0, que se resuelve algebraicamente mediante la fórmula de Cardano (hay multitud de métodos para deducir esa fórmula).

En realidad, la fórmula la descubrió en primer lugar Scipione Dal Ferro y poco después, independientemente, Niccolo Tartaglia, que además se las arregló para reducir la ecuación general a la cúbica reducida, algo sencillo hoy en día, como acabamos de ver, pero con las farragosas notaciones y escasos conocimientos algebraicos del Renacimiento, era un buen trabajo, desde luego.

Cardano rogó a Tartaglia que le contase la fórmula que resolvía la ecuación cúbica bajo promesa de no revelarla, puesto que la idea de Tartaglia era publicarla en un libro de su propia autoría, pero Cardano faltó a su promesa y la publicó como propia en su obra Ars magna (Arte grande) (1545). La fórmula quedó así atribuída incorrectamente a Cardano para la posteridad.

A partir de la ecuación cúbica reducida, se puede deducir la (mal llamada) fórmula de Cardano rápidamente como conté en mi anterior respuesta: